Lineare Algebra Beispiele

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere $a$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} a \cdot 1 \\ a \cdot 2 \\ a \cdot - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} a \\ a \cdot 2 \\ a \cdot - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ a \cdot - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - 1 \cdot a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.2.4

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $b$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \cdot 1 \\ b \cdot 3 \\ b \cdot - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.4

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ b \cdot 3 \\ b \cdot - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.4.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $b$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ b \cdot - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.4.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $b$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.5

Multipliziere $c$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} c \cdot 3 \\ c \cdot 7 \\ c \cdot - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.6

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.1.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $c$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ c \cdot 7 \\ c \cdot - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.6.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $c$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ 7 c \\ c \cdot - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.1.6.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $c$ .

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ 7 c \\ - 4 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} a + b \\ 2 a + 3 b \\ - a - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ 7 c \\ - 4 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.3

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} a + b + 3 c \\ 2 a + 3 b + 7 c \\ - a - 2 b - 4 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 2

Die Matrixgleichung kann als eine Menge von Gleichungen geschrieben werden.

$a + b + 3 c = 0$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a + 3 c = - b$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3 c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = - b - 3 c$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- b - 3 c$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $a$ in $2 a + 3 b + 7 c = 0$ durch $- b - 3 c$ .

$2 (- b - 3 c) + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $2 (- b - 3 c) + 3 b + 7 c$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- b) + 2 (- 3 c) + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 b + 2 (- 3 c) + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$- 2 b - 6 c + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$- 2 b - 6 c + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $- 2 b$ und $3 b$ .

$b - 6 c + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $- 6 c$ und $7 c$ .

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

Schritt 4.3

Ersetze alle $a$ in $- a - 2 b - 4 c = 0$ durch $- b - 3 c$ .

$- (- b - 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Schritt 4.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache $- (- b - 3 c) - 2 b - 4 c$ .

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Schritt 4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Schritt 4.4.1.1.2

Multipliziere $- - b$ .

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Schritt 4.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Schritt 4.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Schritt 4.4.1.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$b + 3 c - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$b + 3 c - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Schritt 4.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.4.1.2.1

Subtrahiere $2 b$ von $b$ .

$- b + 3 c - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Schritt 4.4.1.2.2

Subtrahiere $4 c$ von $3 c$ .

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

Schritt 5

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = - c$

$- b - c = 0$

$a = - b - 3 c$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $- c$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $b$ in $- b - c = 0$ durch $- c$ .

$- (- c) - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $- (- c) - c$ .

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Schritt 6.2.1.1

Multipliziere $- (- c)$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 c - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$c - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

$c - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $c$ von $c$ .

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

Schritt 6.3

Ersetze alle $b$ in $a = - b - 3 c$ durch $- c$ .

$a = - (- c) - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache $- (- c) - 3 c$ .

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Schritt 6.4.1.1

Multipliziere $- (- c)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a = 1 c - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

Schritt 6.4.1.1.2

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$a = c - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = c - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

Schritt 6.4.1.2

Subtrahiere $3 c$ von $c$ .

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

Schritt 7

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$a = - 2 c$

$b = - c$