Lineare Algebra Beispiele

$- 5 x + 4 = 6$ , $6 x + 8 y = - 84$

Schritt 1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 x = 6 - 4, 6 x + 8 y = - 84$

Schritt 2

Subtrahiere $4$ von $6$ .

$- 5 x = 2, 6 x + 8 y = - 84$

Schritt 3

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 5 & 0 & 2 \\ 6 & 8 & - 84 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot 2 \\ 6 & 8 & - 84 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{5} \\ 6 & 8 & - 84 \end{array}]$

Schritt 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{5} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 8 - 6 \cdot 0 & - 84 - 6 (- \frac{2}{5}) \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{5} \\ 0 & 8 & - \frac{408}{5} \end{array}]$

Schritt 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{5} \\ \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{- \frac{408}{5}}{8} \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{2}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{51}{5} \end{array}]$

Schritt 5

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = - \frac{2}{5}$

$y = - \frac{51}{5}$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- \frac{2}{5}, - \frac{51}{5})$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{2}{5} \\ - \frac{51}{5} \end{array}]$