Lineare Algebra Beispiele

$x + 2 z = 0$ , $x - y + 5 z = 0$ , $2 x + y + z = 0$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & - 1 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 - 1 & - 1 - 0 & 5 - 2 & 0 - 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 3 + 3 & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + 2 z = 0$

$y - 3 z = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $2 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2 z$

$y - 3 z = 0$

Schritt 5

Addiere $3 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3 z$

$x = - 2 z$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- 2 z, 3 z, z)$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 z \\ 3 z \\ z \end{array}]$