Lineare Algebra Beispiele

$4 x + 2 = 5 y - 3$ , $y = 3 x - 1$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5 y - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Schritt 2

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Schritt 3

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y - 3 x = - 1$

Schritt 4

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.#

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 3 - 2 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 5

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 5 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{4}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{4}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{- 5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 5.3

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 5.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 (- \frac{5}{4}) & - 1 + 3 (- \frac{5}{4}) \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & - \frac{11}{4} & - \frac{19}{4} \end{array}]$

Schritt 5.4

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{4}{11}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{4}{11}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{4}{11} \cdot 0 & - \frac{4}{11} (- \frac{11}{4}) & - \frac{4}{11} (- \frac{19}{4}) \end{array}]$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Schritt 5.5

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 5.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{19}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Schritt 5.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{10}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Schritt 6

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = \frac{10}{11}$

$y = \frac{19}{11}$

Schritt 7

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{10}{11}, \frac{19}{11})$

Schritt 8

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ \frac{19}{11} \end{array}]$