Lineare Algebra Beispiele

$- 3 x - 4 y = 2$ , $8 y = - 6 x - 4$

Schritt 1

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x - 4 y = 2, 8 y + 6 x = - 4$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 4 & 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittle die reduzierte Zeilenstufenform, um eine der Variablen zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Schritt 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 8 - 6 (\frac{4}{3}) & - 4 - 6 (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x + \frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3}$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3} - x$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{1}{4} (4 (y)) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache $\frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{4} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{4} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{3}{4} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{3}{4} (- x)$

Schritt 5.3.2.1.5

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$y = \frac{- 1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Schritt 5.3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Schritt 5.4

Stelle $- \frac{1}{2}$ und $- \frac{3 x}{4}$ um.

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(x, - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2})$

Schritt 7

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2} \end{array}]$