Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} a & - 2 b & 3 d \\ 4 a & b & - d \\ 2 a & - b & 3 d \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} | + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (b (3 d) - (- b (- d))) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (3 b d - (- b (- d))) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (3 b d - (- 1 \cdot - 1 b d)) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a (3 b d - (1 b d)) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$a (3 b d - b d) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $b d$ von $3 b d$ .

$a (2 b d) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (2 b d) + 2 b (4 a (3 d) - 2 a (- d)) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (2 b d) + 2 b (4 \cdot 3 a d - 2 a (- d)) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$a (2 b d) + 2 b (12 a d - 2 a (- d)) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (2 b d) + 2 b (12 a d - 2 \cdot - 1 a d) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$a (2 b d) + 2 b (12 a d + 2 a d) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Addiere $12 a d$ und $2 a d$ .

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (4 a (- b) - 2 a b)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (4 \cdot - 1 a b - 2 a b)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (- 4 a b - 2 a b)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 a b$ von $- 4 a b$ .

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (- 6 a b)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 a b d + 2 b (14 a d) + 3 d (- 6 a b)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$2 a b d + 28 b (a d) + 3 d (- 6 a b)$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$2 a b d + 28 b a d - 18 d a b$

Schritt 5.2

Addiere $2 a b d$ und $28 b a d$ .

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Schritt 5.2.1

Bewege $b$ .

$2 a b d + 28 a b d - 18 d a b$

Schritt 5.2.2

Addiere $2 a b d$ und $28 a b d$ .

$30 a b d - 18 d a b$

Schritt 5.3

Subtrahiere $18 d a b$ von $30 a b d$ .

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Schritt 5.3.1

Bewege $d$ .

$30 a b d - 18 a b d$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $18 a b d$ von $30 a b d$ .

$12 a b d$