Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} - \frac{1}{5} & x & - \frac{1}{5} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} & x \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} & x \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

$0$ Elementen. Wenn keine

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$\frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$- \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 2

Berechne

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$x (x^{2} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Multipliziere

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere

$\frac{1}{5}$ mit

$1$ .

$x (x^{2} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere

$\frac{1}{5}$ mit

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{5 \cdot 5}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere

$5$ mit

$5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} | - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 3

Berechne

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} & x \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere

$x$ und

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}))) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Multipliziere

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere

$\frac{1}{5}$ mit

$1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5})) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere

$\frac{1}{5}$ mit

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere

$5$ mit

$5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} | \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$

Schritt 4

Berechne

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{5} & x \\ - \frac{1}{5} & - \frac{1}{5} \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5}) - (- \frac{1}{5} x))$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{5})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{5}) \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere

$\frac{1}{5}$ mit

$1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} - (- \frac{1}{5} x))$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere

$\frac{1}{5}$ mit

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{5 \cdot 5} - (- \frac{1}{5} x))$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere

$5$ mit

$5$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - (- \frac{1}{5} x))$

Schritt 4.2.2

Kombiniere

$x$ und

$\frac{1}{5}$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} - - \frac{x}{5})$

Schritt 4.2.3

Multipliziere

$- - \frac{x}{5}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + 1 \frac{x}{5})$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere

$\frac{x}{5}$ mit

$1$ .

$x (x^{2} - \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.2

Multipliziere

$x$ mit

$x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Potenziere

$x$ mit

$1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.2.2

Addiere

$1$ und

$2$ .

$x^{3} + x (- \frac{1}{25}) + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.3

Kombiniere

$x$ und

$\frac{1}{25}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5} - \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{x}{5}) + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.5

Multipliziere

$\frac{1}{5} (- \frac{x}{5})$ .

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{5}$ mit

$\frac{x}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{5 \cdot 5} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere

$5$ mit

$5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{25}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.6

Multipliziere

$\frac{1}{5} (- \frac{1}{25})$ .

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{5}$ mit

$\frac{1}{25}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{5 \cdot 25} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.6.2

Mutltipliziere

$5$ mit

$25$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} (\frac{1}{25} + \frac{x}{5})$

Schritt 5.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Schritt 5.1.8

Multipliziere

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{25}$ .

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Schritt 5.1.8.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{25}$ mit

$\frac{1}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{25 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Schritt 5.1.8.2

Mutltipliziere

$25$ mit

$5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$

Schritt 5.1.9

Multipliziere

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{5}$ .

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Schritt 5.1.9.1

Mutltipliziere

$\frac{x}{5}$ mit

$\frac{1}{5}$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{5 \cdot 5}$

Schritt 5.1.9.2

Mutltipliziere

$5$ mit

$5$ .

$x^{3} - \frac{x}{25} - \frac{x}{25} - \frac{1}{125} - \frac{1}{125} - \frac{x}{25}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Schritt 5.3

Subtrahiere

$x$ von

$- x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Schritt 5.4

Subtrahiere

$x$ von

$- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 1 - 1}{125}$

Schritt 5.5

Subtrahiere

$1$ von

$- 1$ .

$x^{3} + \frac{- 3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{3} - \frac{3 x}{25} + \frac{- 2}{125}$

Schritt 5.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{3} - \frac{3 x}{25} - \frac{2}{125}$