Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} a & b & c \\ d & e & f \\ 4 g & 4 h & 4 i \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} | - b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} e & f \\ 4 h & 4 i \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (e (4 i) - 4 h f) - b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e$ .

$a (4 e i - 4 h f) - b | \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} | + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} d & f \\ 4 g & 4 i \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (4 e i - 4 h f) - b (d (4 i) - 4 g f) + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Schritt 3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $d$ .

$a (4 e i - 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c | \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} d & e \\ 4 g & 4 h \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (4 e i - 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c (d (4 h) - 4 g e)$

Schritt 4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (4 e i - 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a (4 e i) + a (- 4 h f) - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Schritt 5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a \cdot 4 e i - 4 a h f - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Schritt 5.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 a e i - 4 a h f - b (4 d i - 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$4 a e i - 4 a h f - b (4 d i) - b (- 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 a e i - 4 a h f - 4 b (d i) - b (- 4 g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$4 a e i - 4 a h f - 4 b (d i) + 4 b (g f) + c (4 d h - 4 g e)$

Schritt 5.7

Entferne die Klammern.

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + c (4 d h - 4 g e)$

Schritt 5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + c (4 d h) + c (- 4 g e)$

Schritt 5.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + 4 c d h + c (- 4 g e)$

Schritt 5.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 a e i - 4 a h f - 4 b d i + 4 b g f + 4 c d h - 4 e c g$