Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 4 & 10 \\ 5 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 4 \cdot 6 - 5 \cdot 10$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$- 24 - 5 \cdot 10$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $10$ .

$- 24 - 50$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $50$ von $- 24$ .

$- 74$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 74} [\begin{array}{c} 6 & - 10 \\ - 5 & - 4 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{74} [\begin{array}{c} 6 & - 10 \\ - 5 & - 4 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{74}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{74} \cdot 6 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{74}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{74} \cdot 6 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $74$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (37)} \cdot 6 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.1.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{37} \cdot 3 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{- 1}{37}$ und $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{37} & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{37} & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{74}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $2$ aus $74$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{2 (37)} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.5.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{37} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.6

Kombiniere $\frac{- 1}{37}$ und $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- - 5}{37} \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.8

Multipliziere $- \frac{1}{74} \cdot - 5$ .

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ 5 (\frac{1}{74}) & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.8.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{74}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{74}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.9.2

Faktorisiere $2$ aus $74$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{2 (37)} \cdot - 4 \end{array}]$

Schritt 7.9.3

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 2) \end{array}]$

Schritt 7.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 2) \end{array}]$

Schritt 7.9.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{37} \cdot - 2 \end{array}]$

Schritt 7.10

Kombiniere $\frac{- 1}{37}$ und $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- - 2}{37} \end{array}]$

Schritt 7.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{2}{37} \end{array}]$