Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 \cdot 6 - 4 \cdot 2$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 - 4 \cdot 2$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$6 - 8$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $8$ von $6$ .

$- 2$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 6 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 6 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 (3)) & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - 3 & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ \frac{- 1}{2} \cdot - 4 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 2)) & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 2) & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.5.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 1 \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 7.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 \\ 2 & - \frac{1}{2} \end{array}]$