Lineare Algebra Beispiele

$\frac{9 w^{2} - 49}{3 w^{2} - 1 w - 14} \cdot \frac{7 w^{2} + 6 w - 16}{49 w^{2} - 64}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{9 w^{2} - 49}{3 w^{2} - 1 w - 14}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 w^{2} - 1 w - 14 = 0$

Schritt 2

Löse nach $w$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe $- 1 w$ als $- w$ um.

$3 w^{2} - w - 14 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 14 = - 42$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- w$ heraus.

$3 w^{2} - (w) - 14 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 1$ um als $6$ plus $- 7$

$3 w^{2} + (6 - 7) w - 14 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 w^{2} + 6 w - 7 w - 14 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 w^{2} + 6 w) - 7 w - 14 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 w (w + 2) - 7 (w + 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $w + 2$ .

$(w + 2) (3 w - 7) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$w + 2 = 0$

$3 w - 7 = 0$

Schritt 2.4

Setze $w + 2$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $w + 2$ gleich $0$ .

$w + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$w = - 2$

Schritt 2.5

Setze $3 w - 7$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $3 w - 7$ gleich $0$ .

$3 w - 7 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $3 w - 7 = 0$ nach $w$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 w = 7$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 w = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 w = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 w}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{7}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(w + 2) (3 w - 7) = 0$ wahr machen.

$w = - 2, \frac{7}{3}$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{7 w^{2} + 6 w - 16}{49 w^{2} - 64}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$49 w^{2} - 64 = 0$

Schritt 4

Löse nach $w$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$49 w^{2} = 64$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $49 w^{2} = 64$ durch $49$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $49 w^{2} = 64$ durch $49$ .

$\frac{49 w^{2}}{49} = \frac{64}{49}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $49$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{49 w^{2}}{49} = \frac{64}{49}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $w^{2}$ durch $1$ .

$w^{2} = \frac{64}{49}$

Schritt 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{\frac{64}{49}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{64}{49}}$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{64}{49}}$ als $\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}}$ um.

$w = \pm \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$w = \pm \frac{\sqrt{8^{2}}}{\sqrt{49}}$

Schritt 4.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$w = \pm \frac{8}{\sqrt{49}}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.3.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$w = \pm \frac{8}{\sqrt{7^{2}}}$

Schritt 4.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$w = \pm \frac{8}{7}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$w = \frac{8}{7}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$w = - \frac{8}{7}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$w = \frac{8}{7}, - \frac{8}{7}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $w$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{8}{7}) \cup (- \frac{8}{7}, \frac{8}{7}) \cup (\frac{8}{7}, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${w | w \neq \frac{8}{7}, - \frac{8}{7}, - 2, \frac{7}{3}}$

Schritt 6