Lineare Algebra Beispiele

$\log_{5} ({(4 x - 5)}^{2}) = 6$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{5} ({(4 x - 5)}^{2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

${(4 x - 5)}^{2} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{{(4 x - 5)}^{2}} > \sqrt{0}$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| 4 x - 5 | > \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$| 4 x - 5 | > \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| 4 x - 5 | > | 0 |$

Schritt 2.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$| 4 x - 5 | > 0$

Schritt 2.3

Schreibe $| 4 x - 5 | > 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$4 x - 5 \geq 0$

Schritt 2.3.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x \geq 5$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $4 x - 5$ nicht negativ ist.

$4 x - 5 > 0$

Schritt 2.3.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$4 x - 5 < 0$

Schritt 2.3.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x < 5$

Schritt 2.3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Schritt 2.3.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $4 x - 5$ negativ ist.

$- (4 x - 5) > 0$

Schritt 2.3.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 4 x - 5 > 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - (4 x - 5) > 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 2.3.8

Vereinfache $- (4 x - 5) > 0$ .

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Schritt 2.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 4 x - 5 > 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - (4 x) - - 5 > 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x - 5 > 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - 4 x - - 5 > 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 2.3.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

${\begin{cases} 4 x - 5 > 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - 4 x + 5 > 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 2.4

Löse $4 x - 5 > 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x > 5$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x > 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{5}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} > \frac{5}{4}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{5}{4}$

Schritt 2.5

Löse $- 4 x + 5 > 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x > - 5$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x > - 5$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x > - 5$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x < \frac{5}{4}$

Schritt 2.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < \frac{5}{4}$ oder $x > \frac{5}{4}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{5}{4}}$

Schritt 4