Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 4 + 3 i \\ 4 - 2 i \\ 0 - 4 i \end{array}]$

Schritt 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 + 3 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 3^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 9}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $16$ und $9$ .

$\sqrt{{\sqrt{25}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.5

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\sqrt{{\sqrt{5^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{5^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.7

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.8

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.9

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.10

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 4}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.11

Addiere $16$ und $4$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{20}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.12

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 2.12.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\sqrt{25 + {\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{25 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{25 + {(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.14

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{25 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.15

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + 4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.16

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.16.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{25 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.16.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.16.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.16.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{1} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.16.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5 + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.17

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\sqrt{25 + 20 + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.18

Subtrahiere $4 i$ von $0$ .

$\sqrt{25 + 20 + {| - 4 i |}^{2}}$

Schritt 2.19

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.20

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.21

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{0 + 16}}^{2}}$

Schritt 2.22

Addiere $0$ und $16$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{16}}^{2}}$

Schritt 2.23

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{4^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.24

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{25 + 20 + 4^{2}}$

Schritt 2.25

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + 20 + 16}$

Schritt 2.26

Addiere $25$ und $20$ .

$\sqrt{45 + 16}$

Schritt 2.27

Addiere $45$ und $16$ .

$\sqrt{61}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{61}$

Dezimalform:

$7.81024967 \dots$