Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 + 0 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Addiere $4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 4 \\ - 2 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (3 - λ) (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(3 - λ) (- 4 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 3 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ (- 4 - λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 3 \cdot - 4 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$p (λ) = - 12 + 3 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = - 12 - 3 λ + 4 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.2.2

Addiere $- 3 λ$ und $4 λ$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - (- 2 \cdot 4)$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere $- (- 2 \cdot 4)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} - - 8$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$p (λ) = - 12 + λ + λ^{2} + 8$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 12$ und $8$ .

$p (λ) = λ + λ^{2} - 4$

Schritt 5.2.3

Stelle $λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} + λ - 4$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} + λ - 4 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.3

Addiere $1$ und $16$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$λ = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Dezimalform:

$λ = 1.56155281 \dots, - 2.56155281 \dots$