Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $6$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 8 - λ & 6 \\ - 3 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (8 - λ) (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Multipliziere $(8 - λ) (2 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 8 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 8 \cdot 2 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$p (λ) = 16 + 8 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 16 - 8 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.2.2

Subtrahiere $2 λ$ von $- 8 λ$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 6)$

Schritt 1.5.2.1.3

Multipliziere $- (- 3 \cdot 6)$ .

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Schritt 1.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} - - 18$

Schritt 1.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$p (λ) = 16 - 10 λ + λ^{2} + 18$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $16$ und $18$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 34$

Schritt 1.5.2.3

Stelle $- 10 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 34$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 10 λ + 34 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 10$ und $c = 34$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache.

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Schritt 1.7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

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Schritt 1.7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $34$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 136}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.3

Subtrahiere $136$ von $100$ .

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.4

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (36)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ um.

$λ = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.7

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$λ = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$λ = \frac{10 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{10 \pm 6 i}{2}$

Schritt 1.7.3.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 6 i}{2}$ .

$λ = 5 \pm 3 i$

Schritt 1.7.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = 5 + 3 i, 5 - 3 i$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 + 3 i$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $- 5 - 3 i$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 - 3 i) \cdot 1 & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 5 - 3 i$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & (- 5 - 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 5 - 3 i$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ (- 5 - 3 i) \cdot 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 5 - 3 i$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 - 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.5.4

Mutltipliziere $- 5 - 3 i$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 - 3 i & 0 \\ 0 & - 5 - 3 i \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Schritt 3.2.3

Simplify each element.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $6$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $- 3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 - 3 i \end{array}]$

Schritt 3.2.3.4

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 - 3 i \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 5 + 3 i$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - 3 i}{3 - 3 i} & \frac{6}{3 - 3 i} & \frac{0}{3 - 3 i} \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 & - 3 - 3 i & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 - 3 i + 3 (1 + i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 + i) y = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - i y \\ y \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 5 - 3 i$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] - (5 - 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 1 \cdot 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 - (- 3 i)) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + (- 5 + 3 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.4

Multipliziere $- 5 + 3 i$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 5 + 3 i) \cdot 1 & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 5 + 3 i$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & (- 5 + 3 i) \cdot 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 5 + 3 i$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ (- 5 + 3 i) \cdot 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.5.3

Mutltipliziere $- 5 + 3 i$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & (- 5 + 3 i) \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.5.4

Mutltipliziere $- 5 + 3 i$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 8 & 6 \\ - 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 + 3 i & 0 \\ 0 & - 5 + 3 i \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 8 - 5 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 + 0 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $6$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 + 0 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $- 3$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & 2 - 5 + 3 i \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Subtrahiere $5$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 \\ - 3 & - 3 + 3 i \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = 5 - 3 i$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + 3 i & 6 & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + 3 i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + 3 i}{3 + 3 i} & \frac{6}{3 + 3 i} & \frac{0}{3 + 3 i} \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 & - 3 + 3 i & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 i + 3 (1 - i) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 - i) y = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y + i y \\ y \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$