Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $0.4$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $- 0.2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1.3 - λ) (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.1

Multipliziere $(1.3 - λ) (1.9 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1.3 (1.9 - λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $1.3$ mit $1.9$ .

$p (λ) = 2.47 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.3$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $1.9$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.2.2

Subtrahiere $1.9 λ$ von $- 1.3 λ$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

Schritt 1.5.2.1.3

Multipliziere $- (- 0.2 \cdot 0.4)$ .

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Schritt 1.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $0.4$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - - 0.08$

Schritt 1.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.08$ .

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} + 0.08$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $2.47$ und $0.08$ .

$p (λ) = - 3.2 λ + λ^{2} + 2.55$

Schritt 1.5.2.3

Stelle $- 3.2 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} - 3.2 λ + 2.55$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 3.2 λ + 2.55 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3.2$ und $c = 2.55$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{3.2 \pm \sqrt{{(- 3.2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2.55)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3

Vereinfache.

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Schritt 1.7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.3.1.1

Potenziere $- 3.2$ mit $2$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 1 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2.55$ .

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Schritt 1.7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2.55$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 10.2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.3

Subtrahiere $10.2$ von $10.24$ .

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{0.04}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.4

Schreibe $0.04$ als ${0.2}^{2}$ um.

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{{0.2}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2}$

Schritt 1.7.3.3

Vereinfache $\frac{3.2 \pm 0.2}{2}$ .

$λ = \frac{16 \pm 1}{10}$

Schritt 1.7.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = \frac{17}{10}, \frac{3}{2}$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{17}{10}$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{17}{10} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $- \frac{17}{10}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} \cdot 1 & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Multipliziere $- \frac{17}{10} \cdot 0$ .

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 (\frac{17}{10}) \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{17}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Multipliziere $- \frac{17}{10} \cdot 0$ .

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Schritt 3.2.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 (\frac{17}{10}) & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{17}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3

Simplify each element.

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Schritt 3.2.3.1

Um $1.3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.2

Kombiniere $1.3$ und $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.3.4.1

Mutltipliziere $1.3$ mit $10$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.4.2

Subtrahiere $17$ von $13$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 4}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $10$ .

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Schritt 3.2.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{2 (- 2)}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.7

Addiere $0.4$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.8

Addiere $- 0.2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.9

Um $1.9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.10

Kombiniere $1.9$ und $\frac{10}{10}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10 - 17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.3.12.1

Mutltipliziere $1.9$ mit $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{19 - 17}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.12.2

Subtrahiere $17$ von $19$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $10$ .

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Schritt 3.2.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 (1)}{10} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

Schritt 3.2.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = \frac{17}{10}$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} (- \frac{2}{5}) & - \frac{5}{2} \cdot 0.4 & - \frac{5}{2} \cdot 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & \frac{1}{5} + 0.2 \cdot - 1 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3}{2}$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{3}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $- \frac{3}{2}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 (\frac{3}{2}) \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Schritt 4.2.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 (\frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

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Schritt 4.2.3.1

Um $1.3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $1.3$ und $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.4.1

Mutltipliziere $1.3$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2.6 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4.2

Subtrahiere $3$ von $2.6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.4}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Dividiere $- 0.4$ durch $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Addiere $0.4$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Addiere $- 0.2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.8

Um $1.9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.9

Kombiniere $1.9$ und $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2 - 3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.11.1

Mutltipliziere $1.9$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{3.8 - 3}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.11.2

Subtrahiere $3$ von $3.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{0.8}{2} \end{array}]$

Schritt 4.2.3.12

Dividiere $0.8$ durch $2$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 0.4 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = \frac{3}{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.4}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & 0.4 + 0.2 \cdot - 2 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 y = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ y \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$