Lineare Algebra Beispiele

Bestimme die Eigenvektoren/den Eigenraum [[1,0,1],[0,-1,0],[2,1,-1]]
Schritt 1
Bestimme die Eigenwerte.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung zu ermitteln.
Schritt 1.2
Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe ist die Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.
Schritt 1.3
Setze die bekannten Werte in ein.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.3.1
Ersetze durch .
Schritt 1.3.2
Ersetze durch .
Schritt 1.4
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 1.4.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.6
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.7
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.8
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.4.1.2.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.4.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 1.4.3
Simplify each element.
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Schritt 1.4.3.1
Addiere und .
Schritt 1.4.3.2
Addiere und .
Schritt 1.4.3.3
Addiere und .
Schritt 1.4.3.4
Addiere und .
Schritt 1.4.3.5
Addiere und .
Schritt 1.4.3.6
Addiere und .
Schritt 1.5
Find the determinant.
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Schritt 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
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Schritt 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Schritt 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Schritt 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Schritt 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Schritt 1.5.1.9
Add the terms together.
Schritt 1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4
Berechne .
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Schritt 1.5.4.1
Die Determinante einer -Matrix kann mithilfe der Formel bestimmt werden.
Schritt 1.5.4.2
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 1.5.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.5.4.2.1.1
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
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Schritt 1.5.4.2.1.1.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.4.2.1.1.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.4.2.1.1.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.4.2.1.2
Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.
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Schritt 1.5.4.2.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.4
Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
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Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Bewege .
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2.1.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.1.2.2
Addiere und .
Schritt 1.5.4.2.1.2.3
Addiere und .
Schritt 1.5.4.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.4.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 1.5.5
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 1.5.5.1
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.1.1
Addiere und .
Schritt 1.5.5.1.2
Addiere und .
Schritt 1.5.5.2
Multipliziere aus unter Verwendung der FOIL-Methode.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.2.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.2.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.2.3
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 1.5.5.3
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.3.1
Schreibe als um.
Schritt 1.5.5.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.3.3
Multipliziere mit durch Addieren der Exponenten.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.3.3.1
Bewege .
Schritt 1.5.5.3.3.2
Mutltipliziere mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.5.5.3.3.2.1
Potenziere mit .
Schritt 1.5.5.3.3.2.2
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 1.5.5.3.3.3
Addiere und .
Schritt 1.5.5.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 1.5.5.4
Bewege .
Schritt 1.5.5.5
Stelle und um.
Schritt 1.6
Setze das charakteristische Polynom gleich , um die Eigenwerte zu ermitteln.
Schritt 1.7
Löse nach auf.
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Schritt 1.7.1
Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.
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Schritt 1.7.1.1
Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.
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Schritt 1.7.1.1.1
Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.
Schritt 1.7.1.1.2
Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.
Schritt 1.7.1.2
Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, .
Schritt 1.7.2
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 1.7.3
Setze gleich und löse nach auf.
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Schritt 1.7.3.1
Setze gleich .
Schritt 1.7.3.2
Löse nach auf.
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Schritt 1.7.3.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.7.3.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 1.7.3.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.7.3.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 1.7.3.2.2.2.1
Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.
Schritt 1.7.3.2.2.2.2
Dividiere durch .
Schritt 1.7.3.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 1.7.3.2.2.3.1
Dividiere durch .
Schritt 1.7.4
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.4.1
Setze gleich .
Schritt 1.7.4.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.7.4.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.7.4.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 1.7.4.2.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
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Schritt 1.7.4.2.3.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 1.7.4.2.3.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 1.7.4.2.3.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 1.7.5
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Schritt 3
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
Schritt 3.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 3.2.2
Simplify each element.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.2.1
Addiere und .
Schritt 3.2.2.2
Addiere und .
Schritt 3.2.2.3
Addiere und .
Schritt 3.2.2.4
Addiere und .
Schritt 3.2.2.5
Addiere und .
Schritt 3.2.2.6
Addiere und .
Schritt 3.2.2.7
Addiere und .
Schritt 3.2.2.8
Addiere und .
Schritt 3.2.2.9
Addiere und .
Schritt 3.3
Find the null space when .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Schritt 3.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.1.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 3.3.2.2.2
Vereinfache .
Schritt 3.3.2.3
Swap with to put a nonzero entry at .
Schritt 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Schritt 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Schritt 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Schritt 3.3.6
Write as a solution set.
Schritt 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Schritt 4
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
Schritt 4.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 4.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.2
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.2.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.3
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.4
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.2.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.6
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.2.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.7
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.2.7.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.7.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.8
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.1.2.8.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.8.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.2.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 4.2.3
Simplify each element.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.2.3.1
Addiere und .
Schritt 4.2.3.2
Addiere und .
Schritt 4.2.3.3
Addiere und .
Schritt 4.2.3.4
Addiere und .
Schritt 4.2.3.5
Addiere und .
Schritt 4.2.3.6
Addiere und .
Schritt 4.3
Find the null space when .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Schritt 4.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.1.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.2.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.3.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 4.3.2.4.2
Vereinfache .
Schritt 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Schritt 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Schritt 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Schritt 4.3.6
Write as a solution set.
Schritt 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Schritt 5
Find the eigenvector using the eigenvalue .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze die bekannten Werte in die Formel ein.
Schritt 5.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.1
Multipliziere mit jedem Element der Matrix.
Schritt 5.2.1.2
Vereinfache jedes Element der Matrix.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.1.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.2.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.2.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.2.6
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.2.8
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.1.2.9
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.2.2
Addiere die entsprechenden Elemente.
Schritt 5.2.3
Simplify each element.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.2.3.1
Addiere und .
Schritt 5.2.3.2
Addiere und .
Schritt 5.2.3.3
Addiere und .
Schritt 5.2.3.4
Addiere und .
Schritt 5.2.3.5
Addiere und .
Schritt 5.2.3.6
Addiere und .
Schritt 5.3
Find the null space when .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
Schritt 5.3.2
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 5.3.2.1.2
Vereinfache .
Schritt 5.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 5.3.2.2.2
Vereinfache .
Schritt 5.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Schritt 5.3.2.3.2
Vereinfache .
Schritt 5.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Schritt 5.3.2.4.2
Vereinfache .
Schritt 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Schritt 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Schritt 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Schritt 5.3.6
Write as a solution set.
Schritt 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Schritt 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.