Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $5$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 1.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Multipliziere $(3 - λ) (- 1 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.3

Multipliziere $- λ \cdot - 1$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + 1 λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2.2

Addiere $- 3 λ$ und $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 8) + 0 + 0$

Schritt 1.5.4.2.3

Stelle $- 2 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$

Schritt 1.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$ .

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Schritt 1.5.5.1.1

Addiere $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0$

Schritt 1.5.5.1.2

Addiere $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

Schritt 1.5.5.2

Multipliziere $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.3.1

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.2

Mutltipliziere $- 2 λ$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.3.4.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.4.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 1.5.5.3.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.6

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.3.6.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

Schritt 1.5.5.3.8

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 8 λ$

Schritt 1.5.5.4

Addiere $λ^{2}$ und $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 8 λ$

Schritt 1.5.5.5

Addiere $- 2 λ$ und $8 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - 8 - λ^{3}$

Schritt 1.5.5.6

Bewege $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - λ^{3} - 8$

Schritt 1.5.5.7

Bewege $6 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3} + 6 λ - 8$

Schritt 1.5.5.8

Stelle $3 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8 = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.7.1.1

Gruppiere die Terme um.

$- λ^{3} - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- λ^{3} - 8$ heraus.

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Schritt 1.7.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- λ^{3}$ heraus.

$- (λ^{3}) - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.2.2

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$- (λ^{3}) - 1 \cdot 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (λ^{3}) - 1 (8)$ heraus.

$- (λ^{3} + 8) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- (λ^{3} + 2^{3}) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = λ$ und $b = 2$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - λ \cdot 2 + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.5

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.5.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.5.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.6

Faktorisiere $3 λ$ aus $3 λ^{2} + 6 λ$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.6.1

Faktorisiere $3 λ$ aus $3 λ^{2}$ heraus.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 6 λ = 0$

Schritt 1.7.1.6.2

Faktorisiere $3 λ$ aus $6 λ$ heraus.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 3 λ (2) = 0$

Schritt 1.7.1.6.3

Faktorisiere $3 λ$ aus $3 λ (λ) + 3 λ (2)$ heraus.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2) = 0$

Schritt 1.7.1.7

Faktorisiere $λ + 2$ aus $- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.7.1

Faktorisiere $λ + 2$ aus $- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)$ heraus.

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ (λ + 2) = 0$

Schritt 1.7.1.7.2

Faktorisiere $λ + 2$ aus $3 λ (λ + 2)$ heraus.

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ) = 0$

Schritt 1.7.1.7.3

Faktorisiere $λ + 2$ aus $(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ)$ heraus.

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ) = 0$

Schritt 1.7.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(λ + 2) (- 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

Schritt 1.7.1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1.9.1

Schreibe $- 1 λ^{2}$ als $- λ^{2}$ um.

$(λ + 2) (- λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

Schritt 1.7.1.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

Schritt 1.7.1.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 4 + 3 λ) = 0$

Schritt 1.7.1.10

Addiere $2 λ$ und $3 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.11

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1.11.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.7.1.11.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.7.1.11.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 λ$ heraus.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.11.1.1.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$(λ + 2) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.11.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.11.1.1.4

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.11.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.7.1.11.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(λ + 2) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.1.11.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(λ + 2) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

Schritt 1.7.1.11.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- λ + 1$ .

$(λ + 2) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

Schritt 1.7.1.11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ + 2 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze $λ + 2$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.3.1

Setze $λ + 2$ gleich $0$ .

$λ + 2 = 0$

Schritt 1.7.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$λ = - 2$

Schritt 1.7.4

Setze $- λ + 1$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze $- λ + 1$ gleich $0$ .

$- λ + 1 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Löse $- λ + 1 = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- λ = - 1$

Schritt 1.7.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- λ = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.7.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- λ = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.7.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.7.4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.7.4.2.2.2.2

Dividiere $λ$ durch $1$ .

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.7.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.7.4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$λ = 1$

Schritt 1.7.5

Setze $λ - 4$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.5.1

Setze $λ - 4$ gleich $0$ .

$λ - 4 = 0$

Schritt 1.7.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 4$

Schritt 1.7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ wahr machen.

$λ = - 2, 1, 4$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $2$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Addiere $1$ und $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.5

Addiere $3$ und $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.8

Addiere $5$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 + 2 \end{array}]$

Schritt 3.2.3.9

Addiere $- 1$ und $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 (\frac{1}{5}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y + \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ - \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Simplify each element.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $0$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.4

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.5

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.6

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.7

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.8

Subtrahiere $0$ von $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2.9

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 2 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 (\frac{1}{2}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} (- \frac{9}{2}) & - \frac{2}{9} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.6.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Schritt 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

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Schritt 5.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $- 4$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - 4 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3

Simplify each element.

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.4

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.5

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.8

Addiere $5$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 4 \end{array}]$

Schritt 5.2.3.9

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 5 \end{array}]$

Schritt 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

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Schritt 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 5 - 5 \cdot - 1 & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Schritt 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Schritt 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$