Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} 2 & 3 1 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

2 \cdot 1 - 1 \cdot 3

$2 \cdot 1 - 1 \cdot 3$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2 - 1 \cdot 3

$2 - 1 \cdot 3$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

3

$3$ .

2 - 3

$2 - 3$

2 - 3

$2 - 3$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere

3

$3$ von

2

$2$ .

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

- 1

$- 1$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 1} [\begin{matrix} 1 & - 3 - 1 & 2 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 1} [\begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 5

Dividiere

1

$1$ durch

- 1

$- 1$ .

- [\begin{matrix} 1 & - 3 - 1 & 2 \end{matrix}]

$- [\begin{array}{c} 1 & - 3 \\ - 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere

- 1

$- 1$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{matrix} - 1 \cdot 1 & - - 3 - - 1 & - 1 \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 1 & - - 3 \\ - - 1 & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

[\begin{matrix} - 1 & - - 3 - - 1 & - 1 \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & - - 3 \\ - - 1 & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 7.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 3

$- 3$ .

[\begin{matrix} - 1 & 3 - - 1 & - 1 \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 \\ - - 1 & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 7.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

[\begin{matrix} - 1 & 3 1 & - 1 \cdot 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 7.4

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

2

$2$ .

[\begin{matrix} - 1 & 3 1 & - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & - 2 \end{array}]$

[\begin{matrix} - 1 & 3 1 & - 2 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 \\ 1 & - 2 \end{array}]$