Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 4 & 0 & 1 3 & - 6 & 3 1 & 0 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung

p (λ)

$p (λ)$ zu ermitteln.

p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe

3

$3$ ist die

3 \times 3

$3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in

p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze

A

$A$ durch

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 4 & 0 & 1 3 & - 6 & 3 1 & 0 & - 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze

$I_{3}$ durch

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere

$- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere

$- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere

$0$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere

$1$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere

$3$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere

$3$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere

$1$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere

$0$ und

$0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$2$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for

$a_{32}$ is the determinant with row

$3$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element

$a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Schritt 5.3

Mutltipliziere

$0$ mit

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.4

Berechne

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) ((- 4 - λ) (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Multipliziere

$(- 4 - λ) (- 4 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Addiere

$4 λ$ und

$4 λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1) + 0$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere

$1$ von

$16$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

Schritt 5.4.2.3

Stelle

$8 λ$ und

$λ^{2}$ um.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$ .

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Schritt 5.5.1.1

Addiere

$0$ und

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Schritt 5.5.1.2

Addiere

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ und

$0$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$

Schritt 5.5.2

Multipliziere

$(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 6 (8 λ) - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1

Mutltipliziere

$8$ mit

$- 6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.2

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$15$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.3

Multipliziere

$λ$ mit

$λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.3.1

Bewege

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.3.2

Mutltipliziere

$λ^{2}$ mit

$λ$ .

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Schritt 5.5.3.3.2.1

Potenziere

$λ$ mit

$1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{2 + 1} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.3.3

Addiere

$2$ und

$1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.5

Multipliziere

$λ$ mit

$λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.5.1

Bewege

$λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.5.2

Mutltipliziere

$λ$ mit

$λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.6

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$8$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Schritt 5.5.3.7

Mutltipliziere

$15$ mit

$- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - 15 λ$

Schritt 5.5.4

Subtrahiere

$8 λ^{2}$ von

$- 6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 15 λ$

Schritt 5.5.5

Subtrahiere

$15 λ$ von

$- 48 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 - λ^{3}$

Schritt 5.5.6

Bewege

$- 90$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - λ^{3} - 90$

Schritt 5.5.7

Bewege

$- 63 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 63 λ - 90$

Schritt 5.5.8

Stelle

$- 14 λ^{2}$ und

$- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich

$0$ , um die Eigenwerte

$λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Schritt 7

Löse nach

$λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- λ^{3}$ heraus.

$- (λ^{3}) - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- 14 λ^{2}$ heraus.

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - 63 λ - 90 = 0$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- 63 λ$ heraus.

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 90 = 0$

Schritt 7.1.1.4

Schreibe

$- 90$ als

$- 1 (90)$ um.

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Schritt 7.1.1.5

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2})$ heraus.

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Schritt 7.1.1.6

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ)$ heraus.

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Schritt 7.1.1.7

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 (90)$ heraus.

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form

$\frac{p}{q}$ , wobei

$p$ ein Teiler der Konstanten und

$q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.2.2

Ermittle jede Kombination von

$\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

Schritt 7.1.2.3

Setze

$- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich

$0$ , folglich ist

$- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.2.3.1

Setze

$- 3$ in das Polynom ein.

${(- 3)}^{3} + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Schritt 7.1.2.3.2

Potenziere

$- 3$ mit

$3$ .

$- 27 + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Schritt 7.1.2.3.3

Potenziere

$- 3$ mit

$2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 + 63 \cdot - 3 + 90$

Schritt 7.1.2.3.4

Mutltipliziere

$14$ mit

$9$ .

$- 27 + 126 + 63 \cdot - 3 + 90$

Schritt 7.1.2.3.5

Addiere

$- 27$ und

$126$ .

$99 + 63 \cdot - 3 + 90$

Schritt 7.1.2.3.6

Mutltipliziere

$63$ mit

$- 3$ .

$99 - 189 + 90$

Schritt 7.1.2.3.7

Subtrahiere

$189$ von

$99$ .

$- 90 + 90$

Schritt 7.1.2.3.8

Addiere

$- 90$ und

$90$ .

$0$

Schritt 7.1.2.4

$- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch

$λ + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90}{λ + 3}$

Schritt 7.1.2.5

Dividiere

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ durch

$λ + 3$ .

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Schritt 7.1.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert

$0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$63 λ$

$90$

Schritt 7.1.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$

Schritt 7.1.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Schritt 7.1.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$λ^{3} + 3 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Schritt 7.1.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Schritt 7.1.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Schritt 7.1.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$11 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Schritt 7.1.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Schritt 7.1.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$11 λ^{2} + 33 λ$

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Schritt 7.1.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$

Schritt 7.1.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Schritt 7.1.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend

$30 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor

$λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Schritt 7.1.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							+	$30 λ$	+	$90$

Schritt 7.1.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in

$30 λ + 90$

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$

Schritt 7.1.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$
										$0$

Schritt 7.1.2.5.16

Da der Rest gleich

$0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$λ^{2} + 11 λ + 30$

Schritt 7.1.2.6

Schreibe

$λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ als eine Menge von Faktoren.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 11 λ + 30)) = 0$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere

$λ^{2} + 11 λ + 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.3.1.1

Faktorisiere

$λ^{2} + 11 λ + 30$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.3.1.1.1

Betrachte die Form

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

$c$ und deren Summe

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

$30$ und deren Summe

$11$ ist.

$5, 6$

Schritt 7.1.3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((λ + 3) ((λ + 5) (λ + 6))) = 0$

Schritt 7.1.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$- ((λ + 3) (λ + 5) (λ + 6)) = 0$

Schritt 7.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$λ + 3 = 0$

$λ + 5 = 0$

$λ + 6 = 0$

Schritt 7.3

Setze

$λ + 3$ gleich

$0$ und löse nach

$λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze

$λ + 3$ gleich

$0$ .

$λ + 3 = 0$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$λ = - 3$

Schritt 7.4

Setze

$λ + 5$ gleich

$0$ und löse nach

$λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze

$λ + 5$ gleich

$0$ .

$λ + 5 = 0$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere

$5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$λ = - 5$

Schritt 7.5

Setze

$λ + 6$ gleich

$0$ und löse nach

$λ$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze

$λ + 6$ gleich

$0$ .

$λ + 6 = 0$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere

$6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$λ = - 6$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$ wahr machen.

$λ = - 3, - 5, - 6$