Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $2$ ist die $2 \times 2$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{2})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ I_{2})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{2}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $3$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 3 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (2 - λ) (4 - λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere $(2 - λ) (4 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 2 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ (4 - λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 2 \cdot 4 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$p (λ) = 8 + 2 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 8 - 2 λ - 4 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.2.2

Subtrahiere $4 λ$ von $- 2 λ$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$p (λ) = 8 - 6 λ + λ^{2} - 3$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$p (λ) = - 6 λ + λ^{2} + 5$

Schritt 5.2.3

Stelle $- 6 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 5$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{2} - 6 λ + 5 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $λ^{2} - 6 λ + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 7.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(λ - 5) (λ - 1) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ - 5 = 0$

$λ - 1 = 0$

Schritt 7.3

Setze $λ - 5$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $λ - 5$ gleich $0$ .

$λ - 5 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 5$

Schritt 7.4

Setze $λ - 1$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $λ - 1$ gleich $0$ .

$λ - 1 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 1$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(λ - 5) (λ - 1) = 0$ wahr machen.

$λ = 5, 1$