Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Eigenwerte.

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Schritt 1.1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 1.2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 1.3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 1.3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 1.4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 1.4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 1.4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3

Simplify each element.

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Schritt 1.4.3.1

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & 0 \\ - 1 + 0 & 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.3

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 - λ & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.4

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & - 1 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.4.3.6

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 - λ & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 - λ \end{array}]$

Schritt 1.5

Find the determinant.

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Schritt 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & - 1 \\ - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & - 1 \\ - 1 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$

Schritt 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 - λ \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 2 - λ \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & - 1 \\ - 1 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 2 - λ \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} - 1 & 2 - λ \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & - 1 \\ - 1 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 2 - λ & - 1 \\ - 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) ((2 - λ) (1 - λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Multipliziere $(2 - λ) (1 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (2 (1 - λ) - λ (1 - λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - λ (1 - λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 1 + 2 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 + 2 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 2 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 2 λ - λ - λ (- λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 2 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 2 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 2 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 2 λ - λ + 1 λ^{2} - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 2 λ - λ + λ^{2} - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Subtrahiere $λ$ von $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - - - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.3

Multipliziere $- - - 1$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 λ + λ^{2} + 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.3.2.3

Stelle $- 3 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 1.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 1.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (- (1 - λ) + 0 \cdot - 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (- 1 \cdot 1 - - λ + 0 \cdot - 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (- 1 - - λ + 0 \cdot - 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Multipliziere $- - λ$ .

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Schritt 1.5.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (- 1 + 1 λ + 0 \cdot - 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (- 1 + λ + 0 \cdot - 1) + 0$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (- 1 + λ + 0) + 0$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $- 1 + λ$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (- 1 + λ) + 0$

Schritt 1.5.4.2.3

Stelle $- 1$ und $λ$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (λ - 1) + 0$

Schritt 1.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.5.1

Addiere $(1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (λ - 1)$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.2.1

Multipliziere $(1 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.5.2.2.1

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 3 λ) + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.2

Mutltipliziere $- 3 λ$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.3

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.2.2.4.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.4.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 1.5.5.2.2.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.6

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.5.5.2.2.6.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.3

Addiere $λ^{2}$ und $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 3 λ + 1 - λ^{3} - λ + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.4

Subtrahiere $λ$ von $- 3 λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 4 λ + 1 - λ^{3} + 1 (λ - 1)$

Schritt 1.5.5.2.5

Mutltipliziere $λ - 1$ mit $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 4 λ + 1 - λ^{3} + λ - 1$

Schritt 1.5.5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 λ^{2} - 4 λ + 1 - λ^{3} + λ - 1$ .

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Schritt 1.5.5.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} + λ + 0$

Schritt 1.5.5.3.2

Addiere $4 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} + λ$ und $0$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - 4 λ - λ^{3} + λ$

Schritt 1.5.5.4

Addiere $- 4 λ$ und $λ$ .

$p (λ) = 4 λ^{2} - λ^{3} - 3 λ$

Schritt 1.5.5.5

Stelle $4 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 λ$

Schritt 1.6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 λ = 0$

Schritt 1.7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.7.1.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 λ$ heraus.

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Schritt 1.7.1.1.1

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ^{3}$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} + 4 λ^{2} - 3 λ = 0$

Schritt 1.7.1.1.2

Faktorisiere $- λ$ aus $4 λ^{2}$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - 3 λ = 0$

Schritt 1.7.1.1.3

Faktorisiere $- λ$ aus $- 3 λ$ heraus.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 = 0$

Schritt 1.7.1.1.4

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ (λ^{2}) - λ (- 4 λ)$ heraus.

$- λ (λ^{2} - 4 λ) - λ \cdot 3 = 0$

Schritt 1.7.1.1.5

Faktorisiere $- λ$ aus $- λ (λ^{2} - 4 λ) - λ (3)$ heraus.

$- λ (λ^{2} - 4 λ + 3) = 0$

Schritt 1.7.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.7.1.2.1

Faktorisiere $λ^{2} - 4 λ + 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.7.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 1.7.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- λ ((λ - 3) (λ - 1)) = 0$

Schritt 1.7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- λ (λ - 3) (λ - 1) = 0$

Schritt 1.7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ = 0$

$λ - 3 = 0$

$λ - 1 = 0$

Schritt 1.7.3

Setze $λ$ gleich $0$ .

$λ = 0$

Schritt 1.7.4

Setze $λ - 3$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.4.1

Setze $λ - 3$ gleich $0$ .

$λ - 3 = 0$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 3$

Schritt 1.7.5

Setze $λ - 1$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 1.7.5.1

Setze $λ - 1$ gleich $0$ .

$λ - 1 = 0$

Schritt 1.7.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 1$

Schritt 1.7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- λ (λ - 3) (λ - 1) = 0$ wahr machen.

$λ = 0, 3, 1$

Schritt 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Schritt 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $0$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.8

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 3.2.1.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2

Simplify each element.

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Schritt 3.2.2.2.1

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.4

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 + 0 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.5

Addiere $2$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.6

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.7

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.8

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2.2.9

Addiere $1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

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Schritt 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 - 1 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 - 1 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2.3.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Schritt 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Schritt 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 3$ .

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Schritt 4.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere $- 3$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.1.2.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - 3 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3

Simplify each element.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 + 0 \\ - 1 + 0 & 2 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 \\ - 1 + 0 & 2 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.4

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 - 3 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.5

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.6

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 0 & 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 + 0 & 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.8

Addiere $- 1$ und $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 - 3 \end{array}]$

Schritt 4.2.3.9

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 4.3

Find the null space when $λ = 3$ .

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Schritt 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + \frac{1}{2} & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 (- \frac{1}{2}) & - 2 \cdot - 1 & - 2 \cdot 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 2 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 2 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - z = 0$

$y + 2 z = 0$

$0 = 0$

Schritt 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ - 2 z \\ z \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Schritt 5.1

Setze die bekannten Werte in die Formel ein.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & - 1 - 0 & 0 - 0 \\ - 1 - 0 & 2 - 1 & - 1 - 0 \\ 0 - 0 & - 1 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Simplify each element.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 - 0 & 0 - 0 \\ - 1 - 0 & 2 - 1 & - 1 - 0 \\ 0 - 0 & - 1 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $0$ von $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 - 0 \\ - 1 - 0 & 2 - 1 & - 1 - 0 \\ 0 - 0 & - 1 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2.3

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 - 0 & 2 - 1 & - 1 - 0 \\ 0 - 0 & - 1 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2.4

Subtrahiere $0$ von $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 2 - 1 & - 1 - 0 \\ 0 - 0 & - 1 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 - 0 \\ 0 - 0 & - 1 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2.6

Subtrahiere $0$ von $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 0 - 0 & - 1 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2.7

Subtrahiere $0$ von $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2.8

Subtrahiere $0$ von $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 - 1 \end{array}]$

Schritt 5.2.2.9

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Schritt 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - - 1 & - 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.2.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Schritt 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 0 \\ z \end{array}]$

Schritt 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Schritt 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Schritt 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$