Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 + 0 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 2 - λ & 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 2 - λ & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $(2 - λ) (2 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (2 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (2 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Subtrahiere $2 λ$ von $- 2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3

Stelle $- 4 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (1 (2 - λ) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $2 - λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (2 - λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 \cdot 1 - (2 - λ))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - (2 - λ))$

Schritt 5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 1 \cdot 2 - - λ)$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 - - λ)$

Schritt 5.4.2.1.4

Multipliziere $- - λ$ .

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Schritt 5.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + 1 λ)$

Schritt 5.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (1 - 2 + λ)$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (- 1 + λ)$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $- 1$ und $λ$ um.

$p (λ) = (2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3) - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Multipliziere $(2 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 2 λ^{2} + 2 (- 4 λ) + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 2 \cdot 3 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.5.1.2.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 3 - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 2 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.3

Addiere $2 λ^{2}$ und $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 8 λ + 6 - λ^{3} - 3 λ - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.4

Subtrahiere $3 λ$ von $- 8 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ + 1) + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} - 1 (- λ) - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.6

Multipliziere $- 1 (- λ)$ .

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Schritt 5.5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + 1 λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 \cdot 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + 1 (λ - 1)$

Schritt 5.5.1.8

Mutltipliziere $λ - 1$ mit $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 11 λ + 6 - λ^{3} + λ - 1 + λ - 1$

Schritt 5.5.2

Addiere $- 11 λ$ und $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 10 λ + 6 - λ^{3} - 1 + λ - 1$

Schritt 5.5.3

Addiere $- 10 λ$ und $λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ + 6 - λ^{3} - 1 - 1$

Schritt 5.5.4

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 5 - 1$

Schritt 5.5.5

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 9 λ - λ^{3} + 4$

Schritt 5.5.6

Bewege $- 9 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 9 λ + 4$

Schritt 5.5.7

Stelle $6 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 7.1.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

Schritt 7.1.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

Schritt 7.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 + 4$

Schritt 7.1.1.3.4

Potenziere $1$ mit $2$ .

$- 1 + 6 \cdot 1 - 9 \cdot 1 + 4$

Schritt 7.1.1.3.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$- 1 + 6 - 9 \cdot 1 + 4$

Schritt 7.1.1.3.6

Addiere $- 1$ und $6$ .

$5 - 9 \cdot 1 + 4$

Schritt 7.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$5 - 9 + 4$

Schritt 7.1.1.3.8

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$- 4 + 4$

Schritt 7.1.1.3.9

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 7.1.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4}{λ - 1}$

Schritt 7.1.1.5

Dividiere $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ durch $λ - 1$ .

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Schritt 7.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$9 λ$

$4$

Schritt 7.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$

Schritt 7.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Schritt 7.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- λ^{3} + λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Schritt 7.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$

Schritt 7.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

Schritt 7.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$

Schritt 7.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					+	$5 λ^{2}$	-	$5 λ$

Schritt 7.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 λ^{2} - 5 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$

Schritt 7.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$

Schritt 7.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Schritt 7.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Schritt 7.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							-	$4 λ$	+	$4$

Schritt 7.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 λ + 4$

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$

Schritt 7.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$5 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$9 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$5 λ^{2}$	-	$9 λ$
					-	$5 λ^{2}$	+	$5 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$
										$0$

Schritt 7.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- λ^{2} + 5 λ - 4$

Schritt 7.1.1.6

Schreibe $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 9 λ + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 7.1.2.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 λ$ heraus.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

Schritt 7.1.2.1.1.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

Schritt 7.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

Schritt 7.1.2.1.1.4

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

Schritt 7.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

Schritt 7.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(λ - 1) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

Schritt 7.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- λ + 1$ .

$(λ - 1) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

Schritt 7.3

Setze $λ - 1$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $λ - 1$ gleich $0$ .

$λ - 1 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 1$

Schritt 7.4

Setze $λ - 4$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $λ - 4$ gleich $0$ .

$λ - 4 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 4$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(λ - 1) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ wahr machen.

$λ = 1, 4$