Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $- 1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Berechne $| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $(3 - λ) (2 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 + 3 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Subtrahiere $2 λ$ von $- 3 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 2)$ .

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Schritt 5.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} + 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $6$ und $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 8) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.3

Stelle $- 5 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (1 (2 - λ) - 1 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Mutltipliziere $2 - λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (2 - λ - 1 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (2 - λ - 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 - λ - 2$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.3.2.2.2

Addiere $- λ$ und $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (1 \cdot - 1 - (3 - λ))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - (3 - λ))$

Schritt 5.4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 1 \cdot 3 - - λ)$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 - - λ)$

Schritt 5.4.2.1.4

Multipliziere $- - λ$ .

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Schritt 5.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 + 1 λ)$

Schritt 5.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 + λ)$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 4 + λ)$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $- 4$ und $λ$ um.

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.1

Multipliziere $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1.2.1

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 5 λ$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.4.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.4.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.5.1.2.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.6

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.1.2.6.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.2.8

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.3

Addiere $λ^{2}$ und $5 λ^{2}$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 8 λ + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.4

Subtrahiere $8 λ$ von $- 5 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.5

Mutltipliziere $- λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 (λ - 4)$

Schritt 5.5.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 λ - 2 \cdot - 4$

Schritt 5.5.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 λ + 8$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $λ$ von $- 13 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 14 λ + 8 - λ^{3} - 2 λ + 8$

Schritt 5.5.3

Subtrahiere $2 λ$ von $- 14 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 16 λ + 8 - λ^{3} + 8$

Schritt 5.5.4

Addiere $8$ und $8$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - 16 λ - λ^{3} + 16$

Schritt 5.5.5

Bewege $- 16 λ$ .

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 16$

Schritt 5.5.6

Stelle $6 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 7.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 7.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 7.1.3

Setze $2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 7.1.3.1

Setze $2$ in das Polynom ein.

$- 2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

Schritt 7.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

Schritt 7.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

Schritt 7.1.3.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 8 + 6 \cdot 4 - 16 \cdot 2 + 16$

Schritt 7.1.3.5

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$- 8 + 24 - 16 \cdot 2 + 16$

Schritt 7.1.3.6

Addiere $- 8$ und $24$ .

$16 - 16 \cdot 2 + 16$

Schritt 7.1.3.7

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$16 - 32 + 16$

Schritt 7.1.3.8

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$- 16 + 16$

Schritt 7.1.3.9

Addiere $- 16$ und $16$ .

$0$

Schritt 7.1.4

Da $2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $λ - 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16}{λ - 2}$

Schritt 7.1.5

Dividiere $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ durch $λ - 2$ .

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Schritt 7.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

Schritt 7.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- λ^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$

Schritt 7.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Schritt 7.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- λ^{3} + 2 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Schritt 7.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$

Schritt 7.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$

Schritt 7.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 λ^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$

Schritt 7.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Schritt 7.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 λ^{2} - 8 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

Schritt 7.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$

Schritt 7.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$

Schritt 7.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 λ$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$

Schritt 7.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							-	$8 λ$	+	$16$

Schritt 7.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 λ + 16$

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	-	$16$

Schritt 7.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	-	$16$
										$0$

Schritt 7.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- λ^{2} + 4 λ - 8$

Schritt 7.1.6

Schreibe $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ als eine Menge von Faktoren.

$(λ - 2) (- λ^{2} + 4 λ - 8) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ - 2 = 0$

$- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$

Schritt 7.3

Setze $λ - 2$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $λ - 2$ gleich $0$ .

$λ - 2 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 2$

Schritt 7.4

Setze $- λ^{2} + 4 λ - 8$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $- λ^{2} + 4 λ - 8$ gleich $0$ .

$- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$

Schritt 7.4.2

Löse $- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.4.2.2

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 4$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $λ$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ .

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Schritt 7.4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (16)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ um.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$λ = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$λ = \frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$

Schritt 7.4.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$ .

$λ = 2 \pm 2 i$

Schritt 7.4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$λ = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

Schritt 7.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(λ - 2) (- λ^{2} + 4 λ - 8) = 0$ wahr machen.

$λ = 2, 2 + 2 i, 2 - 2 i$