Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 3 x - y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 16 \end{array}]$

Schritt 1

Write as a linear system of equations.

$2 x + 3 y = 7$

$3 x - y = 16$

Schritt 2

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.1

Löse in $2 x + 3 y = 7$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 7 - 3 y$

$3 x - y = 16$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7 - 3 y$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7 - 3 y$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

Schritt 2.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - y = 16$ durch $\frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$ .

$3 (\frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}) - y$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{7}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Multipliziere $3 (\frac{7}{2})$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{21}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Multipliziere $3 (- \frac{3 y}{2})$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{21}{2} - 3 \frac{3 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3 y}{2}$ .

$\frac{21}{2} + \frac{- 3 (3 y)}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{21}{2} + \frac{- 9 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21}{2} + \frac{- 9 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{21}{2} - \frac{9 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21}{2} - \frac{9 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} - \frac{9 y}{2} - y \cdot \frac{2}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.3

Kombiniere $- y$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} - \frac{9 y}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{21}{2} + \frac{- 9 y - y \cdot 2}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{21 - 9 y - y \cdot 2}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{21 - 9 y - 2 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.2.2.1.7

Subtrahiere $2 y$ von $- 9 y$ .

$\frac{21 - 11 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21 - 11 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21 - 11 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21 - 11 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3

Löse in $\frac{21 - 11 y}{2} = 16$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{21 - 11 y}{2} \cdot 2 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1.1

Vereinfache $\frac{21 - 11 y}{2} \cdot 2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{21 - 11 y}{2} \cdot 2 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$21 - 11 y = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$21 - 11 y = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Stelle $21$ und $- 11 y$ um.

$- 11 y + 21 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y + 21 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y + 21 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$- 11 y + 21 = 32$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y + 21 = 32$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y + 21 = 32$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.3.1.1

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 11 y = 32 - 21$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.3.1.2

Subtrahiere $21$ von $32$ .

$- 11 y = 11$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y = 11$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 11 y = 11$ durch $- 11$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 11 y = 11$ durch $- 11$ .

$\frac{- 11 y}{- 11} = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 11$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 11 y}{- 11} = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.3.1

Dividiere $11$ durch $- 11$ .

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Schritt 2.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$ durch $- 1$ .

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$

$y = - 1$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\frac{7}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{7 - 3 \cdot - 1}{2}$

$y = - 1$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x = \frac{7 + 3}{2}$

$y = - 1$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Addiere $7$ und $3$ .

$x = \frac{10}{2}$

$y = - 1$

Schritt 2.4.2.1.2.3

Dividiere $10$ durch $2$ .

$x = 5$

$y = - 1$

$x = 5$

$y = - 1$

$x = 5$

$y = - 1$

$x = 5$

$y = - 1$

$x = 5$

$y = - 1$

Schritt 2.5

Liste alle Lösungen auf.

$x = 5, y = - 1$