Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $3$ ist die $3 \times 3$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{3})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{3}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 49 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $2$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $49$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 0 & 1 \\ 2 & 3 - λ & 2 \\ 49 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

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Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 2 & 2 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 - λ & 1 \\ 49 & 4 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) ((4 - λ) (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Multipliziere $(4 - λ) (4 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 (4 - λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ (4 - λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (4 \cdot 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 + 4 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - λ (- λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + 1 λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 4 λ - 4 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Subtrahiere $4 λ$ von $- 4 λ$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49 \cdot 1) + 0$

Schritt 5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 49$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (16 - 8 λ + λ^{2} - 49) + 0$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $49$ von $16$ .

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} - 33) + 0$

Schritt 5.4.2.3

Stelle $- 8 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

Schritt 5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$ .

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Schritt 5.5.1.1

Addiere $0$ und $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33) + 0$

Schritt 5.5.1.2

Addiere $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ und $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$

Schritt 5.5.2

Multipliziere $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ - 33)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot - 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 33$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.3

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.3.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.3.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.5.3.3.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot - 33$

Schritt 5.5.3.7

Mutltipliziere $- 33$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 8 λ^{2} + 33 λ$

Schritt 5.5.4

Addiere $3 λ^{2}$ und $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ - 99 - λ^{3} + 33 λ$

Schritt 5.5.5

Addiere $- 24 λ$ und $33 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - 99 - λ^{3}$

Schritt 5.5.6

Bewege $- 99$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} + 9 λ - λ^{3} - 99$

Schritt 5.5.7

Bewege $9 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} + 9 λ - 99$

Schritt 5.5.8

Stelle $11 λ^{2}$ und $- λ^{3}$ um.

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$- λ^{3} + 11 λ^{2} + 9 λ - 99 = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- λ^{3} + 11 λ^{2}) + 9 λ - 99 = 0$

Schritt 7.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$λ^{2} (- λ + 11) - 9 (- λ + 11) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- λ + 11$ .

$(- λ + 11) (λ^{2} - 9) = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$(- λ + 11) (λ^{2} - 3^{2}) = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = λ$ und $b = 3$ .

$(- λ + 11) ((λ + 3) (λ - 3)) = 0$

Schritt 7.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- λ + 11 = 0$

$λ + 3 = 0$

$λ - 3 = 0$

Schritt 7.3

Setze $- λ + 11$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $- λ + 11$ gleich $0$ .

$- λ + 11 = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $- λ + 11 = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- λ = - 11$

Schritt 7.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- λ = - 11$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- λ = - 11$ durch $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.2.2

Dividiere $λ$ durch $1$ .

$λ = \frac{- 11}{- 1}$

Schritt 7.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.2.3.1

Dividiere $- 11$ durch $- 1$ .

$λ = 11$

Schritt 7.4

Setze $λ + 3$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $λ + 3$ gleich $0$ .

$λ + 3 = 0$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$λ = - 3$

Schritt 7.5

Setze $λ - 3$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $λ - 3$ gleich $0$ .

$λ - 3 = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 3$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- λ + 11) (λ + 3) (λ - 3) = 0$ wahr machen.

$λ = 11, - 3, 3$