Lineare Algebra Beispiele

Ermittle die Umkehrfunktion [[1,2,3],[2,5,7],[3,7,9]]
[123257379]123257379
Schritt 1
Find the determinant.
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Schritt 1.1
Choose the row or column with the most 00 elements. If there are no 00 elements choose any row or column. Multiply every element in row 11 by its cofactor and add.
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Schritt 1.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|∣ ∣+++++∣ ∣
Schritt 1.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a - position on the sign chart.
Schritt 1.1.3
The minor for a11a11 is the determinant with row 11 and column 11 deleted.
|5779|5779
Schritt 1.1.4
Multiply element a11a11 by its cofactor.
1|5779|15779
Schritt 1.1.5
The minor for a12a12 is the determinant with row 11 and column 22 deleted.
|2739|2739
Schritt 1.1.6
Multiply element a12a12 by its cofactor.
-2|2739|22739
Schritt 1.1.7
The minor for a13a13 is the determinant with row 11 and column 33 deleted.
|2537|2537
Schritt 1.1.8
Multiply element a13a13 by its cofactor.
3|2537|32537
Schritt 1.1.9
Add the terms together.
1|5779|-2|2739|+3|2537|1577922739+32537
1|5779|-2|2739|+3|2537|1577922739+32537
Schritt 1.2
Berechne |5779|5779.
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Schritt 1.2.1
Die Determinante einer 2×22×2-Matrix kann mithilfe der Formel |abcd|=ad-cbabcd=adcb bestimmt werden.
1(59-77)-2|2739|+3|2537|1(5977)22739+32537
Schritt 1.2.2
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 1.2.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.2.2.1.1
Mutltipliziere 55 mit 99.
1(45-77)-2|2739|+3|2537|1(4577)22739+32537
Schritt 1.2.2.1.2
Mutltipliziere -77 mit 77.
1(45-49)-2|2739|+3|2537|1(4549)22739+32537
1(45-49)-2|2739|+3|2537|1(4549)22739+32537
Schritt 1.2.2.2
Subtrahiere 4949 von 4545.
1-4-2|2739|+3|2537|1422739+32537
1-4-2|2739|+3|2537|1422739+32537
1-4-2|2739|+3|2537|1422739+32537
Schritt 1.3
Berechne |2739|2739.
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Schritt 1.3.1
Die Determinante einer 2×22×2-Matrix kann mithilfe der Formel |abcd|=ad-cbabcd=adcb bestimmt werden.
1-4-2(29-37)+3|2537|142(2937)+32537
Schritt 1.3.2
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 1.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.3.2.1.1
Mutltipliziere 22 mit 99.
1-4-2(18-37)+3|2537|142(1837)+32537
Schritt 1.3.2.1.2
Mutltipliziere -33 mit 77.
1-4-2(18-21)+3|2537|142(1821)+32537
1-4-2(18-21)+3|2537|142(1821)+32537
Schritt 1.3.2.2
Subtrahiere 2121 von 1818.
1-4-2-3+3|2537|1423+32537
1-4-2-3+3|2537|1423+32537
1-4-2-3+3|2537|1423+32537
Schritt 1.4
Berechne |2537|2537.
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Schritt 1.4.1
Die Determinante einer 2×22×2-Matrix kann mithilfe der Formel |abcd|=ad-cbabcd=adcb bestimmt werden.
1-4-2-3+3(27-35)1423+3(2735)
Schritt 1.4.2
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 1.4.2.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.4.2.1.1
Mutltipliziere 22 mit 77.
1-4-2-3+3(14-35)1423+3(1435)
Schritt 1.4.2.1.2
Mutltipliziere -3 mit 5.
1-4-2-3+3(14-15)
1-4-2-3+3(14-15)
Schritt 1.4.2.2
Subtrahiere 15 von 14.
1-4-2-3+3-1
1-4-2-3+3-1
1-4-2-3+3-1
Schritt 1.5
Vereinfache die Determinante.
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Schritt 1.5.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 1.5.1.1
Mutltipliziere -4 mit 1.
-4-2-3+3-1
Schritt 1.5.1.2
Mutltipliziere -2 mit -3.
-4+6+3-1
Schritt 1.5.1.3
Mutltipliziere 3 mit -1.
-4+6-3
-4+6-3
Schritt 1.5.2
Addiere -4 und 6.
2-3
Schritt 1.5.3
Subtrahiere 3 von 2.
-1
-1
-1
Schritt 2
Since the determinant is non-zero, the inverse exists.
Schritt 3
Set up a 3×6 matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.
[123100257010379001]
Schritt 4
Ermittele die normierte Zeilenstufenform.
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Schritt 4.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
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Schritt 4.1.1
Perform the row operation R2=R2-2R1 to make the entry at 2,1 a 0.
[1231002-215-227-230-211-200-20379001]
Schritt 4.1.2
Vereinfache R2.
[123100011-210379001]
[123100011-210379001]
Schritt 4.2
Perform the row operation R3=R3-3R1 to make the entry at 3,1 a 0.
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Schritt 4.2.1
Perform the row operation R3=R3-3R1 to make the entry at 3,1 a 0.
[123100011-2103-317-329-330-310-301-30]
Schritt 4.2.2
Vereinfache R3.
[123100011-210010-301]
[123100011-210010-301]
Schritt 4.3
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
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Schritt 4.3.1
Perform the row operation R3=R3-R2 to make the entry at 3,2 a 0.
[123100011-2100-01-10-1-3+20-11-0]
Schritt 4.3.2
Vereinfache R3.
[123100011-21000-1-1-11]
[123100011-21000-1-1-11]
Schritt 4.4
Multiply each element of R3 by -1 to make the entry at 3,3 a 1.
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Schritt 4.4.1
Multiply each element of R3 by -1 to make the entry at 3,3 a 1.
[123100011-210-0-0--1--1--1-11]
Schritt 4.4.2
Vereinfache R3.
[123100011-21000111-1]
[123100011-21000111-1]
Schritt 4.5
Perform the row operation R2=R2-R3 to make the entry at 2,3 a 0.
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Schritt 4.5.1
Perform the row operation R2=R2-R3 to make the entry at 2,3 a 0.
[1231000-01-01-1-2-11-10+100111-1]
Schritt 4.5.2
Vereinfache R2.
[123100010-30100111-1]
[123100010-30100111-1]
Schritt 4.6
Perform the row operation R1=R1-3R3 to make the entry at 1,3 a 0.
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Schritt 4.6.1
Perform the row operation R1=R1-3R3 to make the entry at 1,3 a 0.
[1-302-303-311-310-310-3-1010-30100111-1]
Schritt 4.6.2
Vereinfache R1.
[120-2-33010-30100111-1]
[120-2-33010-30100111-1]
Schritt 4.7
Perform the row operation R1=R1-2R2 to make the entry at 1,2 a 0.
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Schritt 4.7.1
Perform the row operation R1=R1-2R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1-202-210-20-2-2-3-3-203-21010-30100111-1]
Schritt 4.7.2
Vereinfache R1.
[1004-31010-30100111-1]
[1004-31010-30100111-1]
[1004-31010-30100111-1]
Schritt 5
The right half of the reduced row echelon form is the inverse.
[4-31-30111-1]
(
(
)
)
|
|
[
[
]
]
{
{
}
}
A
A
7
7
8
8
9
9
B
B
4
4
5
5
6
6
/
/
^
^
×
×
>
>
π
π
1
1
2
2
3
3
-
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+
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,
,
0
0
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 [x2  12  π  xdx ]