Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 6 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} x \\ y \\ 5 z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 22 \\ 16 \end{array}]$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Multipliziere $2$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 x \\ 2 y \\ 2 (5 z) \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 22 \\ 16 \end{array}]$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} 4 \\ 8 \\ 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 x \\ 2 y \\ 10 z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 22 \\ 16 \end{array}]$

Schritt 2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$[\begin{array}{c} 4 + 2 x \\ 8 + 2 y \\ 6 + 10 z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 4 \\ - 22 \\ 16 \end{array}]$

Schritt 3

Schreibe als lineares Gleichungssystem.

$4 + 2 x = - 4$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.1

Löse in $4 + 2 x = - 4$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 4 - 4$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.1.1.2

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$2 x = - 8$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

$2 x = - 8$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 8$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 8$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 8}{2}$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 8}{2}$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 8}{2}$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

$x = \frac{- 8}{2}$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

$x = \frac{- 8}{2}$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.2.3.1

Dividiere $- 8$ durch $2$ .

$x = - 4$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

$x = - 4$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

$x = - 4$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

$x = - 4$

$8 + 2 y = - 22$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = - 22 - 8$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $8$ von $- 22$ .

$2 y = - 30$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

$2 y = - 30$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 30$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = - 30$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 30}{2}$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 30}{2}$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 30}{2}$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

$y = \frac{- 30}{2}$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

$y = \frac{- 30}{2}$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividiere $- 30$ durch $2$ .

$y = - 15$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

$y = - 15$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

$y = - 15$

$x = - 4$

$6 + 10 z = 16$

Schritt 4.2.3

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 z = 16 - 6$

$y = - 15$

$x = - 4$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $6$ von $16$ .

$10 z = 10$

$y = - 15$

$x = - 4$

$10 z = 10$

$y = - 15$

$x = - 4$

Schritt 4.2.4

Teile jeden Ausdruck in $10 z = 10$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $10 z = 10$ durch $10$ .

$\frac{10 z}{10} = \frac{10}{10}$

$y = - 15$

$x = - 4$

Schritt 4.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 4.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 z}{10} = \frac{10}{10}$

$y = - 15$

$x = - 4$

Schritt 4.2.4.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{10}{10}$

$y = - 15$

$x = - 4$

$z = \frac{10}{10}$

$y = - 15$

$x = - 4$

$z = \frac{10}{10}$

$y = - 15$

$x = - 4$

Schritt 4.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.3.1

Dividiere $10$ durch $10$ .

$z = 1$

$y = - 15$

$x = - 4$

$z = 1$

$y = - 15$

$x = - 4$

$z = 1$

$y = - 15$

$x = - 4$

$z = 1$

$y = - 15$

$x = - 4$

Schritt 4.3

Liste alle Lösungen auf.

$z = 1, y = - 15, x = - 4$