Lineare Algebra Beispiele

2 x + 3 y - z = 2

$2 x + 3 y - z = 2$

3 x + 5 y + z = 5

$3 x + 5 y + z = 5$

Schritt 1

Schreibe das System als eine Matrix.

[\begin{matrix} 2 & 3 & - 1 & 2 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

[\begin{matrix} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 & 5 & 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

Schritt 2.2

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 2.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 5 - 3 \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 5 - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]$

Schritt 2.3

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

2

$2$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

2

$2$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 2 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 0 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

Schritt 2.4

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 2.4.1

Führe die Zeilenumformung

R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

1, 2

$1, 2$ mit

0

$0$ zu machen.

[\begin{matrix} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 4 0 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{matrix} 1 & 0 & - 8 & - 5 0 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 0 & - 8 & - 5 0 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 & 0 & - 8 & - 5 0 & 1 & 5 & 4 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

x - 8 z = - 5

$x - 8 z = - 5$

y + 5 z = 4

$y + 5 z = 4$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

(- 5 + 8 z, 4 - 5 z, z)

$(- 5 + 8 z, 4 - 5 z, z)$