Lineare Algebra Beispiele

4 w - 5 x + 7 z = - 11

$4 w - 5 x + 7 z = - 11$

- w + 8 x + 3 y = 6

$- w + 8 x + 3 y = 6$

15 x - 2 y + 10 z = 9

$15 x - 2 y + 10 z = 9$

Schritt 1

Schreibe das System als eine Matrix.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & - 5 & 0 & 7 & - 11 - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & 0 & 7 & - 11 \\ - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{0}{4} & \frac{7}{4} & \frac{- 11}{4} - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{0}{4} & \frac{7}{4} & \frac{- 11}{4} \\ - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ - 1 & 8 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Schritt 2.2

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} + R_{1}

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

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Schritt 2.2.1

Führe die Zeilenumformung

R_{2} = R_{2} + R_{1}

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ aus, um den Eintrag in

2, 1

$2, 1$ mit

0

$0$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} - 1 + 1 \cdot 1 & 8 - \frac{5}{4} & 3 + 0 & 0 + \frac{7}{4} & 6 - \frac{11}{4} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 8 - \frac{5}{4} & 3 + 0 & 0 + \frac{7}{4} & 6 - \frac{11}{4} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} 0 & \frac{27}{4} & 3 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & \frac{27}{4} & 3 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} 0 & \frac{27}{4} & 3 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & \frac{27}{4} & 3 & \frac{7}{4} & \frac{13}{4} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Schritt 2.3

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{4}{27}

$\frac{4}{27}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere jedes Element von

R_{2}

$R_{2}$ mit

\frac{4}{27}

$\frac{4}{27}$ , um den Eintrag in

2, 2

$2, 2$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \frac{4}{27} \cdot 0 & \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{4} & \frac{4}{27} \cdot 3 & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} & \frac{4}{27} \cdot \frac{13}{4} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ \frac{4}{27} \cdot 0 & \frac{4}{27} \cdot \frac{27}{4} & \frac{4}{27} \cdot 3 & \frac{4}{27} \cdot \frac{7}{4} & \frac{4}{27} \cdot \frac{13}{4} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ 0 & 15 & - 2 & 10 & 9 \end{array}]$

Schritt 2.4

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 15 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 2.4.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 15 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ 0 - 15 \cdot 0 & 15 - 15 \cdot 1 & - 2 - 15 (\frac{4}{9}) & 10 - 15 (\frac{7}{27}) & 9 - 15 (\frac{13}{27}) \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ 0 & 0 & - \frac{26}{3} & \frac{55}{9} & \frac{16}{9} \end{array}]$

Schritt 2.5

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$- \frac{3}{26}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$- \frac{3}{26}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ - \frac{3}{26} \cdot 0 & - \frac{3}{26} \cdot 0 & - \frac{3}{26} (- \frac{26}{3}) & - \frac{3}{26} \cdot \frac{55}{9} & - \frac{3}{26} \cdot \frac{16}{9} \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{7}{27} & \frac{13}{27} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Schritt 2.6

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{9} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 2.6.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{9} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 - \frac{4}{9} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{9} \cdot 0 & \frac{4}{9} - \frac{4}{9} \cdot 1 & \frac{7}{27} - \frac{4}{9} (- \frac{55}{78}) & \frac{13}{27} - \frac{4}{9} (- \frac{8}{39}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & 0 & \frac{7}{4} & - \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{67}{117} & \frac{67}{117} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Schritt 2.7

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 2.7.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & 0 + \frac{5}{4} \cdot 0 & \frac{7}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{67}{117} & - \frac{11}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{67}{117} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{67}{117} & \frac{67}{117} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Schritt 2.7.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{577}{234} & - \frac{238}{117} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{67}{117} & \frac{67}{117} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{55}{78} & - \frac{8}{39} \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$w + \frac{577}{234} z = - \frac{238}{117}$

$x + \frac{67}{117} z = \frac{67}{117}$

$y - \frac{55}{78} z = - \frac{8}{39}$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(- \frac{238}{117} - \frac{577 z}{234}, \frac{67}{117} - \frac{67 z}{117}, - \frac{8}{39} + \frac{55 z}{78}, z)$