Lineare Algebra Beispiele

3 x - 2 y - z = 4

$3 x - 2 y - z = 4$

x - y - 2 z = 0

$x - y - 2 z = 0$

4 x + 3 y + z = 2

$4 x + 3 y + z = 2$

Schritt 1

Schreibe das System als eine Matrix.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & - 2 & - 1 & 4 1 & - 1 & - 2 & 0 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & - 1 & 4 \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{4}{3} 1 & - 1 & - 2 & 0 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{- 1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 & - 1 & - 2 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 - 1 & - 1 + \frac{2}{3} & - 2 + \frac{1}{3} & 0 - \frac{4}{3} \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.3

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 4 - 4 \cdot 1 & 3 - 4 (- \frac{2}{3}) & 1 - 4 (- \frac{1}{3}) & 2 - 4 (\frac{4}{3}) \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{3} & - \frac{4}{3} \\ 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{array}]$

Schritt 2.4

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- 3$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- 3$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ - 3 \cdot 0 & - 3 (- \frac{1}{3}) & - 3 (- \frac{5}{3}) & - 3 (- \frac{4}{3}) \\ 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & \frac{17}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{10}{3} \end{array}]$

Schritt 2.5

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - \frac{17}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - \frac{17}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 - \frac{17}{3} \cdot 0 & \frac{17}{3} - \frac{17}{3} \cdot 1 & \frac{7}{3} - \frac{17}{3} \cdot 5 & - \frac{10}{3} - \frac{17}{3} \cdot 4 \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & - 26 & - 26 \end{array}]$

Schritt 2.6

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$- \frac{1}{26}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$- \frac{1}{26}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ - \frac{1}{26} \cdot 0 & - \frac{1}{26} \cdot 0 & - \frac{1}{26} \cdot - 26 & - \frac{1}{26} \cdot - 26 \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.7

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - 5 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 - 5 \cdot 0 & 1 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 4 - 5 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.7.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.8

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.8.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.9

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{5}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 2.9.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 1$

$y = - 1$

$z = 1$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(1, - 1, 1)$