Lineare Algebra Beispiele

$5 + 2 i$

Schritt 1

Berechne den Abstand von $(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{5^{2} + 2^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{5^{2} + 2^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$r = \sqrt{25 + 2^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{25 + 4}$

Schritt 2.3

Addiere $25$ und $4$ .

$r = \sqrt{29}$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{5} |)$

Schritt 4

Vereinfache $\arctan (| \frac{2}{5} |)$ .

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Schritt 4.1

$\frac{2}{5}$ ist ungefähr $0.4$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$θ̂ = \arctan (\frac{2}{5})$

Schritt 4.2

Berechne $\arctan (\frac{2}{5})$ .

$θ̂ = 0.38050637$

Schritt 5

Der Punkt liegt im ersten Quadranten, da $x$ und $y$ beide positiv sind. Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet, beginnend oben rechts.

Quadrant $1$

Schritt 6

$(a, b)$ ist im ersten Quadranten. $θ = θ̂$

$θ = 0.38050637$

Schritt 7

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 8

Setze $r$ , $n$ und $θ$ in die Formel ein.

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Schritt 8.1

Kombiniere ${(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{(0.38050637) + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$

Schritt 8.2

Kombiniere $c$ und $\frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$

Schritt 8.3

Kombiniere $i$ und $\frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$

Schritt 8.4

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Schritt 8.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 8.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Schritt 8.5.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))))}{2}$

Schritt 8.5.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)))}{2}$

Schritt 8.5.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Schritt 8.5.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Schritt 8.5.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Schritt 8.5.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Schritt 8.5.8

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Schritt 9

Ersetze $k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (0)}{2})$

Schritt 9.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0 π}{2})$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0}{2})$

Schritt 9.3

Addiere $0.38050637$ und $0$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637}{2})$

Schritt 9.4

Dividiere $0.38050637$ durch $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 0.19025318$

Schritt 9.5

Multipliziere ${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ mit $0.19025318$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

Schritt 10

Ersetze $k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (1)}{2})$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 2 π}{2})$

Schritt 10.3

Addiere $0.38050637$ und $2 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{6.66369168}{2})$

Schritt 10.4

Dividiere $6.66369168$ durch $2$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 3.33184584$

Schritt 10.5

Multipliziere ${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ mit $3.33184584$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$

Schritt 11

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$