Lineare Algebra Beispiele

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

Schritt 1

Berechne den Abstand von $(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{3}$ an.

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

Schritt 2.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$r = \sqrt{9 + 27}$

Schritt 2.3.2

Addiere $9$ und $27$ .

$r = \sqrt{36}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$r = \sqrt{6^{2}}$

Schritt 2.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 6$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

Schritt 4

Vereinfache $\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $- 3$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt{3}$ heraus.

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

Schritt 4.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

Schritt 4.3

$- \sqrt{3}$ ist ungefähr $- 1.7320508$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \sqrt{3}$ um und entferne den Absolutwert

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 4.4

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Schritt 5

Der Punkt liegt im zweiten Quadranten, da $x$ negativ und $y$ positiv ist. Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet, beginnend oben rechts.

Quadrant $2$

Schritt 6

$(a, b)$ ist im zweiten Quadranten. $θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

Schritt 7

Vereinfache $θ$ .

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Schritt 7.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 8

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 9

Setze $r$ , $n$ und $θ$ in die Formel ein.

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Schritt 9.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.2

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.4

Subtrahiere $π$ von $π \cdot 3$ .

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Schritt 9.4.1

Stelle $π$ und $3$ um.

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.4.2

Subtrahiere $π$ von $3 \cdot π$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.5

Kombiniere ${(6)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Schritt 9.6

Kombiniere $c$ und $\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Schritt 9.7

Kombiniere $i$ und $\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Schritt 9.8

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Schritt 9.9

Entferne die Klammern.

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Schritt 9.9.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Schritt 9.9.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Schritt 9.9.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Schritt 9.9.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Schritt 9.9.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Schritt 9.9.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Schritt 9.9.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Schritt 10

Ersetze $k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.3

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.5.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.6

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 10.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

Schritt 10.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

Schritt 10.7

Addiere $\frac{2 π}{3}$ und $0$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

Schritt 10.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 10.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 10.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 10.9.3

Forme den Ausdruck um.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

Schritt 11

Ersetze $k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.3

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.5.2

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

Schritt 11.7

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

Schritt 11.8

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Schritt 11.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Schritt 11.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

Schritt 11.10.2

Addiere $2 π$ und $6 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

Schritt 11.11

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 11.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.12.1

Faktorisiere $2$ aus $8 π$ heraus.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 11.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 11.12.3

Forme den Ausdruck um.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

Schritt 12

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$