Lineare Algebra Beispiele

$9 x_{2} - 7 x_{3} = 2$ $- x_{3} = - 2$ $- 3 x_{1} + 6 x_{2} + 8 x_{3} = 1$

Schritt 1

Schreibe das System als eine Matrix.

$[\begin{array}{c} 0 & 9 & - 7 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ - 3 & 6 & 8 & 1 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Vertausche $R_{3}$ mit $R_{1}$ , um einen Nicht-Null-Eintrag in $1, 1$ zu machen.

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.2

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- \frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 8 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.3

Vertausche $R_{3}$ mit $R_{2}$ , um einen Nicht-Null-Eintrag in $2, 2$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.4

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{9}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{9}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{9} & \frac{9}{9} & \frac{- 7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 2.5

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{array}]$

Schritt 2.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.6

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{9} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{9} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 + \frac{7}{9} \cdot 0 & 1 + \frac{7}{9} \cdot 0 & - \frac{7}{9} + \frac{7}{9} \cdot 1 & \frac{2}{9} + \frac{7}{9} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.7

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.7.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{8}{3} \cdot 0 & - 2 + \frac{8}{3} \cdot 0 & - \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} + \frac{8}{3} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.8

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.8.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 & 5 + 2 (\frac{16}{9}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 2.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{77}{9} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x_{1} = \frac{77}{9}$

$x_{2} = \frac{16}{9}$

$x_{3} = 2$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{77}{9}, \frac{16}{9}, 2)$