Lineare Algebra Beispiele

$8 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 1

Berechne den Abstand von $(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$r = \sqrt{0^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Schritt 2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$r = \sqrt{0 + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$r = \sqrt{0 + 8^{2}}$

Schritt 2.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$r = \sqrt{0 + 64}$

Schritt 2.7

Addiere $0$ und $64$ .

$r = \sqrt{64}$

Schritt 2.8

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$r = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 2.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 8$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 \cos (\frac{π}{2})} |)$

Schritt 4

Die Gleichung hat einen nicht definierten Bruch.

Undefiniert

Schritt 5

Ermittle den Quadranten.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$(8 \cdot 0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$(0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Schritt 5.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$(0, 1 \cdot 8)$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$(0, 8)$

Schritt 5.5

Da die y-Koordinate positiv ist und die x-Koordinate $0$ ist, befindet sich der Punkt auf der y-Achse zwischen dem ersten und dem vierten Quadranten. Die Quadranten werden im Gegenuhrzeigersinn benannt, beginnend beim oberen rechten.

Zwischen Quadrant $1$ und $2$

Schritt 6

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 7

Setze $r$ , $n$ und $θ$ in die Formel ein.

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Schritt 7.1

Kombiniere ${(8)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Schritt 7.2

Kombiniere $c$ und $\frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Schritt 7.3

Kombiniere $i$ und $\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Schritt 7.4

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Schritt 7.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 7.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Schritt 7.5.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Schritt 7.5.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Schritt 7.5.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Schritt 7.5.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Schritt 7.5.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Schritt 7.5.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Schritt 8

Ersetze $k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 8.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$k = 0 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Schritt 8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Schritt 8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Schritt 8.4

Berechne den Exponenten.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Schritt 8.5

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Schritt 9

Ersetze $k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 9.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$k = 1 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Schritt 9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Schritt 9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Schritt 9.4

Berechne den Exponenten.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Schritt 10

Ersetze $k = 2$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$k = 2 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Schritt 10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Schritt 10.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Schritt 10.4

Berechne den Exponenten.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Schritt 11

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$