Lineare Algebra Beispiele

$- 4 - 4 i$

Schritt 1

Berechne den Abstand von $(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{16 + 16}$

Schritt 2.3

Addiere $16$ und $16$ .

$r = \sqrt{32}$

Schritt 2.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$r = \sqrt{16 (2)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = 4 \sqrt{2}$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$

Schritt 4

Vereinfache $\arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$ .

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Schritt 4.1

Dividiere $- 4$ durch $- 4$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Schritt 4.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Schritt 5

Der Punkt liegt im dritten Quadranten, da $x$ und $y$ beide negativ sind. Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet, beginnend oben rechts.

Quadrant $3$

Schritt 6

$(a, b)$ ist im dritten Quadranten. $θ = π + θ̂$

$θ = π + \frac{π}{4}$

Schritt 7

Vereinfache $θ$ .

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Schritt 7.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 7.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Schritt 8

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 9

Setze $r$ , $n$ und $θ$ in die Formel ein.

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Schritt 9.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.4

Addiere $π \cdot 4$ und $π$ .

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Schritt 9.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.4.2

Addiere $4 \cdot π$ und $π$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{2}$

Schritt 9.5

Kombiniere ${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Schritt 9.6

Kombiniere $c$ und $\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$

Schritt 9.7

Kombiniere $i$ und $\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{2}$

Schritt 9.8

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))))}{2}$

Schritt 9.9

Entferne die Klammern.

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Schritt 9.9.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{2}$

Schritt 9.9.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$

Schritt 9.9.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$

Schritt 9.9.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Schritt 9.9.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Schritt 9.9.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Schritt 10

Ersetze $k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{2}$ an.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.5

Berechne den Exponenten.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.6

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.7

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.9.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.9.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Schritt 10.10

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 10.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0 π}{2})$

Schritt 10.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0}{2})$

Schritt 10.11

Addiere $\frac{5 π}{4}$ und $0$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})$

Schritt 10.12

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 10.13

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 10.13.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{4 \cdot 2})$

Schritt 10.13.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{8})$

Schritt 11

Ersetze $k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 11.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{2}$ an.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.5

Berechne den Exponenten.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.6

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.7

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.9.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.9.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Schritt 11.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π}{2})$

Schritt 11.11

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{2})$

Schritt 11.12

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Schritt 11.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Schritt 11.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.14.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π + 8 π}{4}}{2})$

Schritt 11.14.2

Addiere $5 π$ und $8 π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{13 π}{4}}{2})$

Schritt 11.15

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 11.16

Multipliziere $\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 11.16.1

Mutltipliziere $\frac{13 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{4 \cdot 2})$

Schritt 11.16.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{8})$

Schritt 12

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{8})$

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{8})$