Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 10 \\ 6 & 2 & 5 \end{array}]$

Schritt 1

Um zu bestimmen, ob die Spalten in der Matrix linear abhängig sind, ermittle, ob es für die Gleichung $A x = 0$ irgendeine nichttriviale Lösung gibt.

Schritt 2

Schreibe als eine erweiterte Matrix für $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.1.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{15}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{15}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.4

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.5

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- \frac{3}{7}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.5.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- \frac{3}{7}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.6

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.7

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.7.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.8

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.8.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Schreibe die Matrix als lineares Gleichungssystem.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Schritt 5

Da die einzige Lösung für $A x = 0$ die triviale Lösung ist, sind die Vektoren linear unabhängig.

Linear unabhängig