Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Um zu bestimmen, ob die Spalten in der Matrix linear abhängig sind, ermittle, ob es für die Gleichung $A x = 0$ irgendeine nichttriviale Lösung gibt.

Schritt 2

Schreibe als eine erweiterte Matrix für $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.1.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 2 - 6 \cdot 2 & 0 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{7}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- \frac{1}{7}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 3 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.4

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 6 + 14 (\frac{3}{7}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.5

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 3.5.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ aus, um den Eintrag in $1, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{3}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Entferne Zeilen, die nur Nullen enthalten.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \end{array}]$

Schritt 5

Schreibe die Matrix als lineares Gleichungssystem.

$x + \frac{1}{7} z = 0$

$y + \frac{3}{7} z = 0$

Schritt 6

Da es nichttriviale Lösungen für $A x = 0$ gibt, sind die Vektoren linear abhängig.

Linear abhängig