Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 - 1 412 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ ,

$[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \\ 5 \\ 2 \end{array}]$ ,

$[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array}]$

Schritt 1

Um zu bestimmen, ob die Spalten in der Matrix linear abhängig sind, ermittle, ob es für die Gleichung

$A x = 0$ irgendeine nichttriviale Lösung gibt.

Schritt 2

Schreibe als eine erweiterte Matrix für

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{1}$ mit

$\frac{1}{2}$ , um den Eintrag in

$1, 1$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.2.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$2, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{1}{2} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.3.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 (\frac{1}{2}) & - 3 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.4

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$4, 1$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.4.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$4, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - \frac{1}{2} & 6 - 1 & 0 - 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.4.2

Vereinfache

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.5

Führe die Zeilenumformung

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$5, 1$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.5.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$5, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.5.2

Vereinfache

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.6

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$\frac{2}{5}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.6.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$\frac{2}{5}$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} \cdot 2 & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.6.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.7

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.7.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$3, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 7 + 3 (\frac{4}{5}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.7.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.8

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$4, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.8.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$4, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & 5 - \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} & 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.8.2

Vereinfache

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.9

Führe die Zeilenumformung

$R_{5} = R_{5} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$5, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.9.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{5} = R_{5} - R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$5, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - \frac{4}{5} & 0 - 0 \end{array}]$

Schritt 3.9.2

Vereinfache

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.10

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$- \frac{5}{23}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.10.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$- \frac{5}{23}$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} (- \frac{23}{5}) & - \frac{5}{23} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.10.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.11

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$4, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.11.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$4, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.11.2

Vereinfache

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Schritt 3.12

Führe die Zeilenumformung

$R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$5, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.12.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$5, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & - \frac{9}{5} + \frac{9}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 3.12.2

Vereinfache

$R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.13

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.13.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{5} \cdot 0 & \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.13.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.14

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.14.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{2} - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.14.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.15

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 3.15.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ aus, um den Eintrag in

$1, 2$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 3.15.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 4

Entferne Zeilen, die nur Nullen enthalten.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 5

Schreibe die Matrix als lineares Gleichungssystem.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Schritt 6

Da die einzige Lösung für

$A x = 0$ die triviale Lösung ist, sind die Vektoren linear unabhängig.

Linear unabhängig