Lineare Algebra Beispiele

3 (cos (π) + i sin (π))

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Schritt 1

Berechne den Abstand von

(a, b)

$(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache

\sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

r = \sqrt{{(3 (- cos (0)))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Der genau Wert von

cos (0)

$\cos (0)$ ist

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere

- 3

$- 3$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

r = \sqrt{9 + {(sin (0) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Der genau Wert von

sin (0)

$\sin (0)$ ist

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere

0

$0$ mit

3

$3$ .

r = \sqrt{9 + 0^{2}}

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Schritt 2.8

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + 0}

$r = \sqrt{9 + 0}$

Schritt 2.9

Addiere

9

$9$ und

0

$0$ .

r = \sqrt{9}

$r = \sqrt{9}$

Schritt 2.10

Schreibe

9

$9$ als

3^{2}

$3^{2}$ um.

r = \sqrt{3^{2}}

$r = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

r = 3

$r = 3$

r = 3

$r = 3$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Schritt 4

Vereinfache

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (0)}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Schritt 4.2.2

Der genau Wert von

sin (0)

$\sin (0)$ ist

0

$0$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- cos (0)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Schritt 4.3.2

Der genau Wert von

cos (0)

$\cos (0)$ ist

1

$1$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1 \cdot 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{0}{- 1} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von

\frac{0}{- 1}

$\frac{0}{- 1}$ .

θˆ = arctan (| - 1 \cdot 0 |)

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

0

$0$ .

θˆ = arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

θˆ = arctan (| 0 |)

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Schritt 4.5

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen

0

$0$ und

0

$0$ ist

0

$0$ .

θˆ = arctan (0)

$θ̂ = \arctan (0)$

Schritt 4.6

Der genau Wert von

arctan (0)

$\arctan (0)$ ist

0

$0$ .

θˆ = 0

$θ̂ = 0$

θˆ = 0

$θ̂ = 0$

Schritt 5

Ermittle den Quadranten.

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Schritt 5.1

(3 (- cos (0)), sin (π) \cdot 3)

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Schritt 5.2

Der genau Wert von

cos (0)

$\cos (0)$ ist

1

$1$ .

(3 (- 1 \cdot 1), sin (π) \cdot 3)

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Schritt 5.3

Multipliziere

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

(3 \cdot - 1, sin (π) \cdot 3)

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

(- 3, sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

(- 3, sin (π) \cdot 3)

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Schritt 5.4

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

(- 3, sin (0) \cdot 3)

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Schritt 5.5

Der genau Wert von

sin (0)

$\sin (0)$ ist

0

$0$ .

(- 3, 0 \cdot 3)

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Schritt 5.6

Mutltipliziere

0

$0$ mit

3

$3$ .

(- 3, 0)

$(- 3, 0)$

Schritt 5.7

Da die x-Koordinate negativ ist und die y-Koordinate

0

$0$ ist, befindet sich der Punkt auf der x-Achse zwischen dem zweiten und dritten Quadranten. Die Quadranten werden im Gegenuhrzeigersinn benannt, beginnend beim oberen rechten.

Zwischen Quadrant

2

$2$ und

3

$3$

Zwischen Quadrant

2

$2$ und

3

$3$

Schritt 6

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 7

Setze

r

$r$ ,

n

$n$ und

θ

$θ$ in die Formel ein.

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Schritt 7.1

Kombiniere

{(3)}^{\frac{1}{2}}

${(3)}^{\frac{1}{2}}$ und

\frac{θ + 2 π k}{2}

$\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Schritt 7.2

Kombiniere

c

$c$ und

\frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{{(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Schritt 7.3

Kombiniere

i

$i$ und

\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Schritt 7.4

Kombiniere

s

$s$ und

\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Schritt 7.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 7.5.1

Entferne die Klammern.

\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Schritt 7.5.2

Entferne die Klammern.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Schritt 7.5.3

Entferne die Klammern.

\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Schritt 7.5.4

Entferne die Klammern.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Schritt 7.5.5

Entferne die Klammern.

\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Schritt 7.5.6

Entferne die Klammern.

\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Schritt 7.5.7

Entferne die Klammern.

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Schritt 8

Ersetze

k = 0

$k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 8.1

Entferne die Klammern.

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Schritt 8.2

Multipliziere

2 π (0)

$2 π (0)$ .

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere

0

$0$ mit

2

$2$ .

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0 π}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

π

$π$ .

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Schritt 9

Ersetze

k = 1

$k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Schritt 9.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf.

k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})

$k = 0 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 0}{2})$

k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})

$k = 1 : 3^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$