Lineare Algebra Beispiele

4 i

$4 i$

Schritt 1

Berechne den Abstand von

(a, b)

$(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}

$r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache

\sqrt{0^{2} + 4^{2}}

$\sqrt{0^{2} + 4^{2}}$ .

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Schritt 2.1

0

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

0

$0$ .

r = \sqrt{0 + 4^{2}}

$r = \sqrt{0 + 4^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere

4

$4$ mit

2

$2$ .

r = \sqrt{0 + 16}

$r = \sqrt{0 + 16}$

Schritt 2.3

Addiere

0

$0$ und

16

$16$ .

r = \sqrt{16}

$r = \sqrt{16}$

Schritt 2.4

Schreibe

16

$16$ als

4^{2}

$4^{2}$ um.

r = \sqrt{4^{2}}

$r = \sqrt{4^{2}}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

r = 4

$r = 4$

r = 4

$r = 4$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{4}{0} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{0} |)$

Schritt 4

Die Gleichung hat einen nicht definierten Bruch.

Undefiniert

Schritt 5

Da die y-Koordinate positiv ist und die x-Koordinate

0

$0$ ist, befindet sich der Punkt auf der y-Achse zwischen dem ersten und dem vierten Quadranten. Die Quadranten werden im Gegenuhrzeigersinn benannt, beginnend beim oberen rechten.

Zwischen Quadrant

1

$1$ und

2

$2$

Schritt 6

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 7

Setze

r

$r$ ,

n

$n$ und

θ

$θ$ in die Formel ein.

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Schritt 7.1

Kombiniere

{(4)}^{\frac{1}{2}}

${(4)}^{\frac{1}{2}}$ und

\frac{θ + 2 π k}{2}

$\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

c i s \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$c i s \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Schritt 7.2

Kombiniere

c

$c$ und

\frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

i s \frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$i s \frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Schritt 7.3

Kombiniere

i

$i$ und

\frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Schritt 7.4

Kombiniere

$s$ und

$\frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Schritt 7.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 7.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c (4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Schritt 7.5.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Schritt 7.5.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Schritt 7.5.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Schritt 7.5.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Schritt 7.5.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Schritt 7.5.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Schritt 8

Ersetze

$k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 8.1

Schreibe

$4$ als

$2^{2}$ um.

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Schritt 8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Schritt 8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Schritt 8.4

Berechne den Exponenten.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Schritt 8.5

Multipliziere

$2 π (0)$ .

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere

$0$ mit

$2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere

$0$ mit

$π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Schritt 9

Ersetze

$k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 9.1

Schreibe

$4$ als

$2^{2}$ um.

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Schritt 9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Schritt 9.3.2

Forme den Ausdruck um.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Schritt 9.4

Berechne den Exponenten.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Schritt 9.5

Mutltipliziere

$2$ mit

$1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$