Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 2 & x_{1} \\ 2 & 3 & - 1 & x_{2} \\ 0 & - 1 & - 3 & x_{3} \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 1.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - - 2 & - x_{1} \\ 2 & 3 & - 1 & x_{2} \\ 0 & - 1 & - 3 & x_{3} \end{array}]$

Schritt 1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 2 & 3 & - 1 & x_{2} \\ 0 & - 1 & - 3 & x_{3} \end{array}]$

Schritt 2

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 2.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ aus, um den Eintrag in $2, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 2 & x_{2} - 2 (- x_{1}) \\ 0 & - 1 & - 3 & x_{3} \end{array}]$

Schritt 2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 0 & 3 & - 5 & x_{2} + 2 x_{1} \\ 0 & - 1 & - 3 & x_{3} \end{array}]$

Schritt 3

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 3.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $\frac{1}{3}$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{- 5}{3} & \frac{x_{2} + 2 x_{1}}{3} \\ 0 & - 1 & - 3 & x_{3} \end{array}]$

Schritt 3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{3} & \frac{x_{2} + 2 x_{1}}{3} \\ 0 & - 1 & - 3 & x_{3} \end{array}]$

Schritt 4

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ aus, um den Eintrag in $3, 2$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{3} & \frac{x_{2} + 2 x_{1}}{3} \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 3 - \frac{5}{3} & x_{3} + \frac{x_{2} + 2 x_{1}}{3} \end{array}]$

Schritt 4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{3} & \frac{x_{2} + 2 x_{1}}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{14}{3} & \frac{3 x_{3} + x_{2} + 2 x_{1}}{3} \end{array}]$

Schritt 5

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- \frac{3}{14}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 5.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $- \frac{3}{14}$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{3} & \frac{x_{2} + 2 x_{1}}{3} \\ - \frac{3}{14} \cdot 0 & - \frac{3}{14} \cdot 0 & - \frac{3}{14} (- \frac{14}{3}) & - \frac{3}{14} \cdot \frac{3 x_{3} + x_{2} + 2 x_{1}}{3} \end{array}]$

Schritt 5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{5}{3} & \frac{x_{2} + 2 x_{1}}{3} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3 x_{3}}{14} - \frac{x_{2}}{14} - \frac{x_{1}}{7} \end{array}]$

Schritt 6

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + \frac{5}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 0 + \frac{5}{3} \cdot 0 & 1 + \frac{5}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{x_{2} + 2 x_{1}}{3} + \frac{5}{3} (- \frac{3 x_{3}}{14} - \frac{x_{2}}{14} - \frac{x_{1}}{7}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3 x_{3}}{14} - \frac{x_{2}}{14} - \frac{x_{1}}{7} \end{array}]$

Schritt 6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & - x_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3 x_{2} + 6 x_{1} - 5 x_{3}}{14} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3 x_{3}}{14} - \frac{x_{2}}{14} - \frac{x_{1}}{7} \end{array}]$

Schritt 7

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 7.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - x_{1} - 2 (- \frac{3 x_{3}}{14} - \frac{x_{2}}{14} - \frac{x_{1}}{7}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3 x_{2} + 6 x_{1} - 5 x_{3}}{14} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3 x_{3}}{14} - \frac{x_{2}}{14} - \frac{x_{1}}{7} \end{array}]$

Schritt 7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{3 x_{3} + x_{2} - 5 x_{1}}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3 x_{2} + 6 x_{1} - 5 x_{3}}{14} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3 x_{3}}{14} - \frac{x_{2}}{14} - \frac{x_{1}}{7} \end{array}]$