Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Schritt 1

Finde die Umkehrfunktion von $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Die Umkehrfunktion einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ bestimmt werden, wobei $a d - b c$ die Determinante ist.

Schritt 1.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 1.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Schritt 1.2.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Schritt 1.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Schritt 1.2.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 - 2$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$1$

Schritt 1.3

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 1.4

Setze die bekannten Werte in die Formel für die Umkehrfunktion ein.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 1.5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 1.6

Multipliziere $1$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Schritt 1.7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $- \frac{1}{3}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Schritt 1.7.4

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit der Umkehrfunktion von $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Schritt 3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1.1

Zwei Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix entspricht. In diesem Fall ist die erste Matrix $2 \times 2$ und die zweite Matrix ist $2 \times 2$ .

Schritt 3.1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Schritt 3.1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Schritt 3.2

Die Multiplikation der Identitätsmatrix mit irgendeiner Matrix $A$ ergibt die Matrix $A$ selbst.

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Schritt 3.3

Multipliziere $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ .

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Schritt 3.3.1

Schritt 3.3.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

Schritt 3.3.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$