Lineare Algebra Beispiele

$5 x + 3 = 4 y$ , $y = 8 x - 2$

Schritt 1

Verschiebe alle Variablen auf die linke Seite jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x + 3 - 4 y = 0$

$y = 8 x - 2$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x - 4 y = - 3$

$y = 8 x - 2$

Schritt 1.3

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x - 4 y = - 3$

$y - 8 x = - 2$

Schritt 1.4

Stelle $y$ und $- 8 x$ um.

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

Schritt 2

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Schritt 3

Bestimme die Determinante der Koeffizientenmatrix $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ in Determinanten-Schreibweise.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Schritt 3.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $- (- 8 \cdot - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$5 - 1 \cdot 32$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$5 - 32$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $32$ von $5$ .

$- 27$

$D = - 27$

Schritt 4

Da die Determinante nicht $0$ ist, kann das System mithilfe der cramerschen Regel gelöst werden.

Schritt 5

Ermittle den Wert von $x$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze die Spalte $1$ der Koeffizientenmatrix, die den $x$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot - 4)$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$- 3 - 1 \cdot 8$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 3 - 8$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $- 3$ .

$- 11$

$D_{x} = - 11$

Schritt 5.3

Wende die Formel an, um $x$ zu lösen.

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 5.4

Setze $- 27$ für $D$ und $- 11$ für $D_{x}$ in die Formel ein.

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Schritt 5.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{11}{27}$

Schritt 6

Ermittle den Wert von $y$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze die Spalte $2$ der Koeffizientenmatrix, die den $y$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Schritt 6.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 6.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 8 \cdot - 3)$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 3$ .

$- 10 - 1 \cdot 24$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $24$ .

$- 10 - 24$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $24$ von $- 10$ .

$- 34$

$D_{y} = - 34$

Schritt 6.3

Wende die Formel an, um $y$ zu lösen.

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 6.4

Setze $- 27$ für $D$ und $- 34$ für $D_{y}$ in die Formel ein.

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Schritt 6.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{34}{27}$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{11}{27}$

$y = \frac{34}{27}$