Lineare Algebra Beispiele

5 x + 3 = 4 y

$5 x + 3 = 4 y$ ,

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Schritt 1

Verschiebe alle Variablen auf die linke Seite jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere

4 y

$4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

5 x + 3 - 4 y = 0

$5 x + 3 - 4 y = 0$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Schritt 1.2

Subtrahiere

3

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y = 8 x - 2

$y = 8 x - 2$

Schritt 1.3

Subtrahiere

8 x

$8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

y - 8 x = - 2

$y - 8 x = - 2$

Schritt 1.4

Stelle

y

$y$ und

- 8 x

$- 8 x$ um.

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

5 x - 4 y = - 3

$5 x - 4 y = - 3$

- 8 x + y = - 2

$- 8 x + y = - 2$

Schritt 2

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Schritt 3

Bestimme die Determinante der Koeffizientenmatrix

[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe

[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ in Determinanten-Schreibweise.

| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Schritt 3.3

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere

5

$5$ mit

1

$1$ .

5 - (- 8 \cdot - 4)

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere

- (- 8 \cdot - 4)

$- (- 8 \cdot - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere

- 8

$- 8$ mit

- 4

$- 4$ .

5 - 1 \cdot 32

$5 - 1 \cdot 32$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

32

$32$ .

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

5 - 32

$5 - 32$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere

32

$32$ von

5

$5$ .

- 27

$- 27$

- 27

$- 27$

D = - 27

$D = - 27$

Schritt 4

Da die Determinante nicht

0

$0$ ist, kann das System mithilfe der cramerschen Regel gelöst werden.

Schritt 5

Ermittle den Wert von

x

$x$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze die Spalte

1

$1$ der Koeffizientenmatrix, die den

x

$x$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch

[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

1

$1$ .

- 3 - (- 2 \cdot - 4)

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Schritt 5.2.2.1.2

Multipliziere

- (- 2 \cdot - 4)

$- (- 2 \cdot - 4)$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

- 4

$- 4$ .

- 3 - 1 \cdot 8

$- 3 - 1 \cdot 8$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

8

$8$ .

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

- 3 - 8

$- 3 - 8$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere

8

$8$ von

- 3

$- 3$ .

- 11

$- 11$

- 11

$- 11$

D_{x} = - 11

$D_{x} = - 11$

Schritt 5.3

Wende die Formel an, um

x

$x$ zu lösen.

x = \frac{D_{x}}{D}

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 5.4

Setze

- 27

$- 27$ für

D

$D$ und

- 11

$- 11$ für

D_{x}

$D_{x}$ in die Formel ein.

x = \frac{- 11}{- 27}

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Schritt 5.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

Schritt 6

Ermittle den Wert von

y

$y$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze die Spalte

2

$2$ der Koeffizientenmatrix, die den

y

$y$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch

[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Schritt 6.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 6.2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere

5

$5$ mit

- 2

$- 2$ .

- 10 - (- 8 \cdot - 3)

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere

- (- 8 \cdot - 3)

$- (- 8 \cdot - 3)$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 8

$- 8$ mit

- 3

$- 3$ .

- 10 - 1 \cdot 24

$- 10 - 1 \cdot 24$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

24

$24$ .

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

- 10 - 24

$- 10 - 24$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere

24

$24$ von

- 10

$- 10$ .

- 34

$- 34$

- 34

$- 34$

D_{y} = - 34

$D_{y} = - 34$

Schritt 6.3

Wende die Formel an, um

y

$y$ zu lösen.

y = \frac{D_{y}}{D}

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 6.4

Setze

- 27

$- 27$ für

D

$D$ und

- 34

$- 34$ für

D_{y}

$D_{y}$ in die Formel ein.

y = \frac{- 34}{- 27}

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Schritt 6.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$

Schritt 7

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

x = \frac{11}{27}

$x = \frac{11}{27}$

y = \frac{34}{27}

$y = \frac{34}{27}$