Lineare Algebra Beispiele

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 6 & 0 & - 2 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Determinante.

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Schritt 1.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

2

$2$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.1.3

Die Unterdeterminante für

a_{12}

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.4

Multipliziere Element

a_{12}

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.5

Die Unterdeterminante für

a_{22}

$a_{22}$ ist die Determinante, wenn Zeile

2

$2$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.6

Multipliziere Element

a_{22}

$a_{22}$ mit seinen Kofaktoren.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.7

Die Unterdeterminante für

a_{32}

$a_{32}$ ist die Determinante, wenn Zeile

3

$3$ und Spalte

2

$2$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.1.8

Multipliziere Element

a_{32}

$a_{32}$ mit seinen Kofaktoren.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.2

Mutltipliziere

0

$0$ mit

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.3

Mutltipliziere

0

$0$ mit

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 + 0

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 1.4

Berechne

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

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Schritt 1.4.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Mutltipliziere

6

$6$ mit

0

$0$ .

1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 2

$- 2$ .

1 (0 + 2) + 0 + 0

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

1 (0 + 2) + 0 + 0

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Schritt 1.4.2.2

Addiere

0

$0$ und

2

$2$ .

1 \cdot 2 + 0 + 0

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

1 \cdot 2 + 0 + 0

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

1 \cdot 2 + 0 + 0

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

2 + 0 + 0

$2 + 0 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere

2

$2$ und

0

$0$ .

2 + 0

$2 + 0$

Schritt 1.5.3

Addiere

2

$2$ und

0

$0$ .

2

$2$

2

$2$

2

$2$

Schritt 2

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 3

Stelle eine

3 \times 6

$3 \times 6$ Matrix auf, bei der die linke Hälfte die ursprüngliche Matrix und die rechte Hälfte die Einheitsmatrix ist.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Vertausche

R_{2}

$R_{2}$ mit

R_{1}

$R_{1}$ , um einen Nicht-Null-Eintrag in

1, 1

$1, 1$ zu machen.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jedes Element von

R_{1}

$R_{1}$ mit

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ , um den Eintrag in

1, 1

$1, 1$ mit

1

$1$ vorzunehmen.

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.3

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 4.3.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in

$3, 1$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Schritt 4.4

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- 1$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{2}$ mit

$- 1$ , um den Eintrag in

$2, 2$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Schritt 4.5

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$3$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.5.1

Multipliziere jedes Element von

$R_{3}$ mit

$3$ , um den Eintrag in

$3, 3$ mit

$1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.5.2

Vereinfache

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 4.6

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 4.6.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$2, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 4.6.2

Vereinfache

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 4.7

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

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Schritt 4.7.1

Führe die Zeilenumformung

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in

$1, 3$ mit

$0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 4.7.2

Vereinfache

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 5

Die rechte Hälfte der normierten Zeilenstufenform ist die Umkehrfunktion.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$