Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Bestimme die Determinante.

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Schritt 1.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $2$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.4

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{22}$ ist die Determinante, wenn Zeile $2$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.6

Multipliziere Element $a_{22}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 1.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{32}$ ist die Determinante, wenn Zeile $3$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.1.8

Multipliziere Element $a_{32}$ mit seinen Kofaktoren.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

Schritt 1.4

Berechne $| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

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Schritt 1.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

Schritt 1.4.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 0 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2 + 0$

Schritt 1.5.3

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2

Da die Determinante ungleich null ist, existiert die Umkehrfunktion.

Schritt 3

Stelle eine $3 \times 6$ Matrix auf, bei der die linke Hälfte die ursprüngliche Matrix und die rechte Hälfte die Einheitsmatrix ist.

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Vertausche $R_{2}$ mit $R_{1}$ , um einen Nicht-Null-Eintrag in $1, 1$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{6}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jedes Element von $R_{1}$ mit $\frac{1}{6}$ , um den Eintrag in $1, 1$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.3

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.3.1

Führe die Zeilenumformung $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ aus, um den Eintrag in $3, 1$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Schritt 4.4

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.4.1

Multipliziere jedes Element von $R_{2}$ mit $- 1$ , um den Eintrag in $2, 2$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Schritt 4.5

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $3$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

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Schritt 4.5.1

Multipliziere jedes Element von $R_{3}$ mit $3$ , um den Eintrag in $3, 3$ mit $1$ vorzunehmen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 4.6

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.6.1

Führe die Zeilenumformung $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ aus, um den Eintrag in $2, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 4.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 4.7

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

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Schritt 4.7.1

Führe die Zeilenumformung $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ aus, um den Eintrag in $1, 3$ mit $0$ zu machen.

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 4.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

Schritt 5

Die rechte Hälfte der normierten Zeilenstufenform ist die Umkehrfunktion.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$