Lineare Algebra Beispiele

$1 + i$

Schritt 1

Berechne den Abstand von $(a, b)$ zum Ursprung mit Hilfe der Formel $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache $\sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Schritt 2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \sqrt{1 + 1}$

Schritt 2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$r = \sqrt{2}$

Schritt 3

Berechne den Referenzwinkel $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{1} |)$

Schritt 4

Vereinfache $\arctan (| \frac{1}{1} |)$ .

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Schritt 4.1

Dividiere $1$ durch $1$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Schritt 4.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Schritt 5

Der Punkt liegt im ersten Quadranten, da $x$ und $y$ beide positiv sind. Die Quadranten sind gegen den Uhrzeigersinn gekennzeichnet, beginnend oben rechts.

Quadrant $1$

Schritt 6

$(a, b)$ ist im ersten Quadranten. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

Schritt 7

Verwende die Formel um die Wurzeln der komplexen Zahl zu ermitteln.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Schritt 8

Setze $r$ , $n$ und $θ$ in die Formel ein.

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Schritt 8.1

Kombiniere ${(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

Schritt 8.2

Kombiniere $c$ und $\frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

Schritt 8.3

Kombiniere $i$ und $\frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

Schritt 8.4

Kombiniere $s$ und $\frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Schritt 8.5

Entferne die Klammern.

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Schritt 8.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Schritt 8.5.2

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Schritt 8.5.3

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Schritt 8.5.4

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Schritt 8.5.5

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Schritt 8.5.6

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Schritt 8.5.7

Entferne die Klammern.

$\frac{s (i c) {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Schritt 8.5.8

Entferne die Klammern.

$\frac{s i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Schritt 9

Ersetze $k = 0$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 9.1

Entferne die Klammern.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Schritt 9.2

Multipliziere $2 π (0)$ .

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

Schritt 9.3

Addiere $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

Schritt 9.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 9.5

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

Schritt 10

Ersetze $k = 1$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

Schritt 10.3

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Schritt 10.4

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Schritt 10.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Schritt 10.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

Schritt 10.6.2

Addiere $π$ und $8 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

Schritt 10.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 10.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.8.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 10.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 10.8.3

Forme den Ausdruck um.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

Schritt 11

Ersetze $k = 2$ in der Formel und vereinfache sie.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

Schritt 11.3

Um $4 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Schritt 11.4

Kombiniere $4 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Schritt 11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Schritt 11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

Schritt 11.6.2

Addiere $π$ und $16 π$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

Schritt 11.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Schritt 11.8

Multipliziere $\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 11.8.1

Mutltipliziere $\frac{17 π}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

Schritt 11.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

Schritt 12

Liste die Lösungen auf.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$