Finite Mathematik Beispiele

9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 = 0

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 36 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht

x

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere

4 y^{2}

$4 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

9 x^{2} - 36 = - 4 y^{2}

$9 x^{2} - 36 = - 4 y^{2}$

Schritt 1.2

Addiere

36

$36$ zu beiden Seiten der Gleichung.

9 x^{2} = - 4 y^{2} + 36

$9 x^{2} = - 4 y^{2} + 36$

9 x^{2} = - 4 y^{2} + 36

$9 x^{2} = - 4 y^{2} + 36$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in

9 x^{2} = - 4 y^{2} + 36

$9 x^{2} = - 4 y^{2} + 36$ durch

9

$9$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in

9 x^{2} = - 4 y^{2} + 36

$9 x^{2} = - 4 y^{2} + 36$ durch

9

$9$ .

\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 4 y^{2}}{9} + \frac{36}{9}

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 4 y^{2}}{9} + \frac{36}{9}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

9

$9$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{- 4 y^{2}}{9} + \frac{36}{9}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere

$x^{2}$ durch

$1$ .

$x^{2} = \frac{- 4 y^{2}}{9} + \frac{36}{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{4 y^{2}}{9} + \frac{36}{9}$

Schritt 2.3.1.2

Dividiere

$36$ durch

$9$ .

$x^{2} = - \frac{4 y^{2}}{9} + 4$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4 y^{2}}{9} + 4}$

Schritt 4

Vereinfache

$\pm \sqrt{- \frac{4 y^{2}}{9} + 4}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere

$4$ aus

$- \frac{4 y^{2}}{9} + 4$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere

$4$ aus

$- \frac{4 y^{2}}{9}$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (- \frac{y^{2}}{9}) + 4}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere

$4$ aus

$4$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (- \frac{y^{2}}{9}) + 4 (1)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere

$4$ aus

$4 (- \frac{y^{2}}{9}) + 4 (1)$ heraus.

$x = \pm \sqrt{4 (- \frac{y^{2}}{9} + 1)}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1

Schreibe

$1$ als

$1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4 (- \frac{y^{2}}{9} + 1^{2})}$

Schritt 4.2.2

Schreibe

$\frac{y^{2}}{9}$ als

${(\frac{y}{3})}^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4 (- {(\frac{y}{3})}^{2} + 1^{2})}$

Schritt 4.2.3

Stelle

$- {(\frac{y}{3})}^{2}$ und

$1^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4 (1^{2} - {(\frac{y}{3})}^{2})}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

$a = 1$ und

$b = \frac{y}{3}$ .

$x = \pm \sqrt{4 (1 + \frac{y}{3}) (1 - \frac{y}{3})}$

Schritt 4.4

Schreibe

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{4 (\frac{3}{3} + \frac{y}{3}) (1 - \frac{y}{3})}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{4 \frac{3 + y}{3} (1 - \frac{y}{3})}$

Schritt 4.6

Schreibe

$1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{4 \frac{3 + y}{3} (\frac{3}{3} - \frac{y}{3})}$

Schritt 4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{4 \frac{3 + y}{3} \frac{3 - y}{3}}$

Schritt 4.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.8.1

Kombiniere

$4$ und

$\frac{3 + y}{3}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + y)}{3} \cdot \frac{3 - y}{3}}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere

$\frac{4 (3 + y)}{3}$ mit

$\frac{3 - y}{3}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + y) (3 - y)}{3 \cdot 3}}$

Schritt 4.8.3

Mutltipliziere

$3$ mit

$3$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + y) (3 - y)}{9}}$

Schritt 4.9

Schreibe

$\frac{4 (3 + y) (3 - y)}{9}$ als

${(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + y) (3 - y))$ um.

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Schritt 4.9.1

Faktorisiere die perfekte Potenz

$2^{2}$ aus

$4 (3 + y) (3 - y)$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + y) (3 - y))}{9}}$

Schritt 4.9.2

Faktorisiere die perfekte Potenz

$3^{2}$ aus

$9$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + y) (3 - y))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.9.3

Ordne den Bruch

$\frac{2^{2} ((3 + y) (3 - y))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + y) (3 - y))}$

Schritt 4.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{2}{3} \sqrt{(3 + y) (3 - y)}$

Schritt 4.11

Kombiniere

$\frac{2}{3}$ und

$\sqrt{(3 + y) (3 - y)}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}}{3}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des

$\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}}{3}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von

$\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}}{3}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}}{3}$

$x = - \frac{2 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}}{3}$

$x = \frac{2 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}}{3}$

$x = - \frac{2 \sqrt{(3 + y) (3 - y)}}{3}$