Finite Mathematik Beispiele

$4 \log_{5} (\sqrt{6 x - 1}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{5}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2

Setze das Argument in $\log_{5} (\sqrt{6 x - 1})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{6 x - 1} \leq 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{6 x - 1}}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x - 1}$ als ${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache ${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache.

$6 x - 1 \leq 0^{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6 x - 1 \leq 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$6 x \leq 1$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x \leq 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x \leq 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{1}{6}$

Schritt 3.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{6 x - 1}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{6 x - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$6 x - 1 \geq 0$

Schritt 3.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$6 x \geq 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x \geq 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x \geq 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{1}{6}$

Schritt 3.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[\frac{1}{6}, \infty)$

Schritt 3.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{6}$

$x > \frac{1}{6}$

Schritt 3.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 3.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 3.6.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{6 (0) - 1} \leq 0$

Schritt 3.6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.6.2

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 3.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 3.6.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{6 (3) - 1} \leq 0$

Schritt 3.6.2.3

Die linke Seite $4.12310562$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 3.6.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{6}$ Falsch

$x > \frac{1}{6}$ Falsch

$x < \frac{1}{6}$ Falsch

$x > \frac{1}{6}$ Falsch

Schritt 3.7

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 4

Setze das Argument in $\log_{5} (\frac{5}{x})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{5}{x} \leq 0$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

Schritt 5.2

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{5}{x}$ .

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Schritt 5.2.1

Setze den Nenner in $\frac{5}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5.2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.3

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{6 x - 1}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$6 x - 1 < 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$6 x < 1$

Schritt 7.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x < 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x < 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

Schritt 7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{1}{6}$

Schritt 8

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < \frac{1}{6}$

$(- \infty, \frac{1}{6})$

Schritt 9