Finite Mathematik Beispiele

$\sqrt[6]{4 - x^{2} - 3 x}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt[6]{4 - x^{2} - 3 x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 - x^{2} - 3 x < 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 - x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $4 - x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Bewege $4$ .

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (3 x)$ heraus.

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ heraus.

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $3$ ist.

$- 1, 4$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 1) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 4$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 - {(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 < 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $- 14$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 - {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 < 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $4$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 - {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 < 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $- 24$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

$x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 1$ Falsch

$x > 1$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 4$ oder $x > 1$

Schritt 3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < - 4, x > 1$

$(- \infty, - 4) \cup (1, \infty)$

Schritt 4