Finite Mathematik Beispiele

$y = - \frac{4}{5} x + 2$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{4}{5} y + 2$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{4}{5} y + 2 = x$ um.

$- \frac{4}{5} y + 2 = x$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $y$ und $\frac{4}{5}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{5} + 2 = x$

Schritt 2.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{4 y}{5} + 2 = x$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{4 y}{5} = x - 2$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.1.1

Vereinfache $- \frac{5}{4} (- \frac{4 y}{5})$ .

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Schritt 2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{4} (- \frac{4 y}{5}) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 y}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.1.1.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$\frac{5 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{5} = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 y$ heraus.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 2.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{5}{4} (x - 2)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache $- \frac{5}{4} (x - 2)$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{5}{4} x - \frac{5}{4} \cdot - 2$

Schritt 2.5.2.1.1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} - \frac{5}{4} \cdot - 2$

Schritt 2.5.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{4} \cdot - 2$

Schritt 2.5.2.1.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 2.5.2.1.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.5.2.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 2.5.2.1.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Schritt 2.5.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{- 5}{2}$ und $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Schritt 2.5.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{4}{5} x + 2$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{4}{5} x + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{x \cdot 4}{5} + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (- \frac{4 \cdot x}{5} + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{4 x}{5} + 2$ heraus.

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- \frac{4 x}{5}$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5}) + 2)}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5}) + 2 (1))}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.1.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- \frac{2 x}{5}) + 2 (1)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 (2 (- \frac{2 x}{5} + 1))}{4} + \frac{5}{2}$

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{5 \cdot (2 (- \frac{2 x}{5} + 1))}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (- \frac{2 x}{5} + 1)}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.1.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (- \frac{2 x}{5} + \frac{5}{5})}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{10 (\frac{- 2 x + 5}{5})}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Kombiniere $10$ und $\frac{- 2 x + 5}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{10 (- 2 x + 5)}{5}}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{10 (- 2 x + 5)}{5}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $10 (- 2 x + 5)$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5}}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5 (1)}}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{5 (2 (- 2 x + 5))}{5 \cdot 1}}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{\frac{2 (- 2 x + 5)}{1}}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.3.2

Dividiere $2 (- 2 x + 5)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{2 (- 2 x + 5)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = - \frac{- 2 x + 5}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{- (- 2 x + 5) + 5}{2}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 5 + 5}{2}$

Schritt 4.2.5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x - 1 \cdot 5 + 5}{2}$

Schritt 4.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x - 5 + 5}{2}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 5 + 5$ .

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Schritt 4.2.6.1.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 4.2.6.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 4.2.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4}{5} x + 2) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) + 2$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 4}{5} \cdot (- \frac{5 x}{4}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.2.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 x}{4}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.2.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 x}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x)) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = - 1 (- x) - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = 1 x - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x - \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 4}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{2 (- 2)}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{2 \cdot - 2}{5} \cdot \frac{5}{2} + 2$

Schritt 4.3.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 2}{5} \cdot 5 + 2$

Schritt 4.3.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + \frac{- 2}{5} \cdot 5 + 2$

Schritt 4.3.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x - 2 + 2$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{4}{5} x + 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2}$